SIFT
SIFT（Scale-invariant feature transform）是一种检测局部特征的算法，该算法通过求一幅图中的特征点（interest points,or corner points）及其有关scale 和 orientation 的描述子得到特征并进行图像特征点匹配，获得了良好效果，详细解析如下：
算法描述
SIFT特征不只具有尺度不变性，即使改变旋转角度，图像亮度或拍摄视角，仍然能够得到好的检测效果。整个算法分为以下几个部分：
1.构建尺度空间
这是一个初始化操作，尺度空间理论目的是模拟图像数据的多尺度特征。
高斯卷积核是实现尺度变换的唯一线性核，于是一副二维图像的尺度空间定义为：
其中 G(x,y,σ)是尺度可变高斯函数
（x，y）是空间坐标，是尺度坐标。σ大小决定图像的平滑程度，大尺度对应图像的概貌特征，小尺度对应图像的细节特征。大的σ值对应粗糙尺度(低分辨率)，反之，对应精细尺度(高分辨率)。为了有效的在尺度空间检测到稳定的关键点，提出了高斯差分尺度空间（DOG scale-space）。利用不同尺度的高斯差分核与图像卷积生成。
下图所示不同σ下图像尺度空间：
关于尺度空间的理解说明：2kσ中的2是必须的，尺度空间是连续的。在 Lowe的论文中 ，将第0层的初始尺度定为1.6（最模糊），图片的初始尺度定为0.5（最清晰）. 在检测极值点前对原始图像的高斯平滑以致图像丢失高频信息，所以 Lowe 建议在建立尺度空间前首先对原始图像长宽扩展一倍，以保留原始图像信息，增加特征点数量。尺度越大图像越模糊。
图像金字塔的建立：对于一幅图像I,建立其在不同尺度(scale)的图像，也成为子八度（octave），这是为了scale-invariant，也就是在任何尺度都能够有对应的特征点，第一个子八度的scale为原图大小，后面每个octave为上一个octave降采样的结果，即原图的1/4（长宽分别减半），构成下一个子八度（高一层金字塔）。
尺度空间的所有取值，i为octave的塔数（第几个塔），s为每塔层数
由图片size决定建几个塔，每塔几层图像(S一般为3-5层)。0塔的第0层是原始图像(或你double后的图像)，往上每一层是对其下一层进行Laplacian变换（高斯卷积，其中σ值渐大，例如可以是σ, k*σ, k*k*σ…），直观上看来越往上图片越模糊。塔间的图片是降采样关系，例如1塔的第0层可以由0塔的第3层down sample得到，然后进行与0塔类似的高斯卷积操作。
2.LoG近似DoG找到关键点<检测DOG尺度空间极值点>
为了寻找尺度空间的极值点，每一个采样点要和它所有的相邻点比较，看其是否比它的图像域和尺度域的相邻点大或者小。如图所示，中间的检测点和它同尺度的8个相邻点和上下相邻尺度对应的9×2个点共26个点比较，以确保在尺度空间和二维图像空间都检测到极值点。 一个点如果在DOG尺度空间本层以及上下两层的26个领域中是最大或最小值时，就认为该点是图像在该尺度下的一个特征点,如图所示。
同一组中的相邻尺度（由于k的取值关系，肯定是上下层）之间进行寻找
s=3的情况
在极值比较的过程中，每一组图像的首末两层是无法进行极值比较的，
为了满足尺度变化的连续性（下面有详解）
，我们在每一组图像的顶层继续用高斯模糊生成了3 幅图像，高斯金字塔有每组S+3层图像。DOG金字塔每组有S+2层图像.
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这里有的童鞋不理解什么叫“
为了满足尺度
变化的连续性”，现在做仔细阐述：
假设s=3，也就是每个塔里有3层，则k=2
1/s=2
1/3，那么按照上图可得Gauss Space和DoG space 分别有3个（s个）和2个（s-1个）分量，在DoG space中，1st-octave两项分别是σ,kσ; 2nd-octave两项分别是2σ,2kσ;由于无法比较极值，我们必须在高斯空间继续添加高斯模糊项，使得形成σ,kσ,k
2σ,k
3σ,k
4σ这样就可以选择DoG space中的中间三项kσ,k
2σ,k
3σ（只有左右都有才能有极值），那么下一octave中（由上一层降采样获得）所得三项即为2kσ,2k
2σ,2k
3σ，其首项2kσ=2
4/3。刚好与上一octave末项k
3σ=2
3/3尺度变化连续起来，所以每次要在Gaussian space添加3项，每组（塔）共S+3层图像，相应的DoG金字塔有S+2层图像。
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使用Laplacian of Gaussian能够很好地找到找到图像中的兴趣点，但是需要大量的计算量，所以使用Difference of Gaussian图像的极大极小值近似寻找特征点.DOG算子计算简单，是尺度归一化的LoG算子的近似,有关DOG寻找特征点的介绍及方法详见http://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/7639488，极值点检测用的Non-Maximal Suppression。
3.除去不好的特征点
这一步本质上要去掉DoG局部曲率非常不对称的像素。
通过拟和三维二次函数以精确确定关键点的位置和尺度（达到亚像素精度），同时去除低对比度的关键点和不稳定的边缘响应点(因为DoG算子会产生较强的边缘响应)，以增强匹配稳定性、提高抗噪声能力，在这里使用近似Harris Corner检测器。
①空间尺度函数泰勒展开式如下：
，对上式求导,并令其为0,得到精确的位置, 得
②在已经检测到的特征点中,要去掉低对比度的特征点和不稳定的边缘响应点。去除低对比度的点：把公式(2)代入公式(1)，即在DoG Space的极值点处D(x)取值，只取前两项可得：
若 
，该特征点就保留下来，否则丢弃。
③边缘响应的去除
一个定义不好的高斯差分算子的极值在横跨边缘的地方有较大的主曲率，而在垂直边缘的方向有较小的主曲率。主曲率通过一个2×2 的Hessian矩阵H求出:
导数由采样点相邻差估计得到。
D的主曲率和H的特征值成正比，令α为较大特征值，β为较小的特征值，则
令α=γβ，则
(r + 1)2/r的值在两个特征值相等的时候最小，随着r的增大而增大，因此，为了检测主曲率是否在某域值r下，只需检测
if(α+β)/αβ> (r+1)2/r, throw it out. 在Lowe的文章中，取r＝10。
4.给特征点赋值一个128维方向参数
上一步中确定了每幅图中的特征点，为每个特征点计算一个方向，依照这个方向做进一步的计算，利用关键点邻域像素的梯度方向分布特性为每个关键点指定方向参数，使算子具备旋转不变性。
为(x,y)处梯度的模值和方向公式。其中L所用的尺度为每个关键点各自所在的尺度。至此，图像的关键点已经检测完毕，每个关键点有三个信息：位置，所处尺度、方向，由此可以确定一个SIFT特征区域。
梯度直方图的范围是0～360度，其中每10度一个柱，总共36个柱。随着距
中心点越远