本节所说的B树并不是前面所说的二叉树（Binary Tree），而一类多路搜索树（B-Tree），其是为了解决二叉树只有两路的情况而提出，广泛应用于文件搜索（比如文件的目录树）。这类树主要分为B-树、B+树、B*树等等。

12.1 B-树

12.1.1 B-树的结构

B-树是一种平衡多路搜索树（并不是二叉的），其特征如下：

下图是一个M=3的情况下的B-树：
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12.1.2 B-树的搜索

从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点；

12.1.3 B-树的特性

由于限制了除根结点以外的非叶子结点，至少含有M/2个儿子，确保了结点的至少利用率，其最低搜索性能为O(logN)，N为关键字总数。因此B-树的性能总是等价于二分查找（与M值无关），也就没有二叉树的平衡问题。
由于M/2的限制，在插入结点时，如果结点已满，需要将结点分裂为两个各占M/2的结点。
当删除结点时，需将两个不足M/2的兄弟结点合并。

12.2 B+树

12.2.1 B+树的结构

由于B-树在插入或删除结点时，可能需要进行兄弟结点的合并或分裂成两个兄弟结点的操作，此时需要通过向上访问父结点，从而达到兄弟结点，这样需要额外的结点复制操作，因此我们引入B+树。
B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树，其定义基本与B-树同，除了：

下图是一个M=3的情况下的B+树：

12.2.2 B+树的搜索

B+的搜索与B-树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B-树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找

12.2.3 B+树的特性

12.3 B*树

12.3.2 B*树的结构

B*树是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；
B* 树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)* M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）；

12.3.2 B*树与B+树的区别

B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；
B* 树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针； 所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；

12.4 B树簇总结

B树：二叉树，每个结点只存储一个关键字，等于则命中，小于走左结点，大于走右结点；
B-树：多路搜索树，每个结点存储M/2到M个关键字，非叶子结点存储指向关键字范围的子结点；有关键字在整颗树中出现，且只出现一次，非叶子结点可以命中；
B+树：在B-树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引；B+树总是到叶子结点才命中；
B* 树：在B+树基础上，为非叶子结点也增加链表指针，将结点的最低利用率从1/2提高到2/3；

12.4.1 B+/B* Tree应用

1) B+tree的磁盘读写代价更低
B+-tree的内部结点并没有指向关键字具体信息的指针。因此其内部结点相对B 树更小。如果把所有同一内部结点的关键字存放在同一盘块中，那么盘块所能容纳的关键字数量也越多。一次性读入内存中的需要查找的关键字也就越多。相对来说IO读写次数也就降低了。
举个例子，假设磁盘中的一个盘块容纳16bytes，而一个关键字2bytes，一个关键字具体信息指针2bytes。一棵9阶B-tree(一个结点最多8个关键字)的内部结点需要2个盘快。而B+ 树内部结点只需要1个盘快。当需要把内部结点读入内存中的时候，B 树就比B+ 树多一次盘块查找时间(在磁盘中就是盘片旋转的时间)。
2) B+tree的查询效率更加稳定
由于非终结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。
数据库索引采用B+树的主要原因是，B-树在提高了磁盘IO性能的同时并没有解决元素遍历的效率低下的问题。正是为了解决这个问题，B+树应运而生。B+树只要遍历叶子节点就可以实现整棵树的遍历。而且在数据库中基于范围的查询是非常频繁的，而B树不支持这样的操作（或者说效率太低）。

12.5 多叉树与二叉树的转换

12.5.1 多叉树转换成二叉树

1加线：所有兄弟节点之间加线
2去线：保留树中每个结点与它第一个孩子的连线，删除其与其他孩子的连线
3层次调整：以根结点为轴心，将整棵树旋转，使之层次分明。

12.5.2 二叉树转换成多叉树

而将二叉树转换为树，正好是一个相逆的过程。
1加线。若某结点X的左孩子结点存在，则将这个左孩子的右孩子结点、右孩子的右孩子结点、右孩子的右孩子的右孩子结点…，都作为结点X的孩子。将结点X与这些右孩子结点用线连接起来。
2去线。删除原二叉树中所有结点与其右孩子结点的连线。
3层次调整。

M阶B-树中含有N个关键字，最大深度为