【例1】求正整数的拆分数。
将正整数s表示成一系列正整数之和，s=n1+n2+…+nk，其中n1>=n2>=…>=nk, k>=1。正整数s的不同拆分个数称为s的拆分数。例如，正整数6有11种不同的拆分，分别是：
6； 5+1； 4+2； 4+1+1； 3+3； 3+2+1; 3+1+1+1；
2+2+2； 2+2+1+1； 2+1+1+1+1； 1+1+1+1+1+1。
（1）编程思想。
设m、n均为正整数，m可表示为一些不超过n的正整数之和，f（m,n）为这种表示方式的数目。下面先确定递归关系。
如果 n>m，则拆分式中n、n-1、…、m+2、m+1这n-m 个数必定不会出现，去掉它们对拆分式的表示数目不产生影响；即 f(m,n) = f(m,m)。
如果 n=m，则 f(n,m)=1+f(n,n?1)。 其中，“1”表示n的拆分式中只包含n本身，即n=n，只有一种拆分表示；f(n,n?1)表示n的所有其他拆分，即拆分式中最大正整数不超过n?1的拆分数目。
如果n<m，则 f(n,m)=f(n,m?1)+f(n?m,m)。其中，f(n,m?1)表示拆分式中不包含m的拆分式数目；f(n?m,m)表示拆分式中至少包含一个m的拆分数目，因为如果确定了一个拆分式中包含正整数m，则剩下的部分就是对n?m进行不超过m的拆分。
确定递归的终止条件。第一个终止条件：f(n,1)=1，表示当拆分式中最大的正整数是1时，该整数n只有一种拆分，即n个1相加。第二个终止条件：f(1,m)=1，表示整数n=1只有一个拆分，不管上限m是多大。
（2）源程序。
#include <iostream>
using namespace std;
int f(int m,int n)
{
if(m==1 || n==1)
return 1 ;
if(m<n)
return f(m,m);
if (m==n)
return 1+ f(m,n-1);
return f(m,n-1)+f(m-n, n );
}
int main()
{
int n, m,k;
while (cin >>m>>n && n!=0)
{
k=f(m,n);
cout<<k<<endl;
}
return 0;
}
【例2】正整数的拆分式。
正整数s（简称为和数）的拆分是把s分成为某些指定正整数（简称为零数）之和，拆分式中不允许零数重复，且不记零数的次序。
把指定正整数s拆分为1~m（m<=s）之和，共有多少种不同的拆分方式？输出所有这些拆分式。
例如，若s=6,m=6，则例1中的11个拆分式只有4个符合本题的要求。即 6； 5+1； 4+2； 3+2+1。
（1）编程思路。
由于正整数的拆分与拆分式中各零数的排列顺序无关，因此，可以将正整数s拆分式表示成一系列从大到小排列的正整数之和，即 s=n1+n2+…+nk，其中m>=n1>n2>…>nk>=1, k>=1。
拆分式中的k个零数都在1~m之间，因此我们需要先解决如何从1~m这m个数中取k（k<m）个数的所有组合。
设 comb(int a[],int m,int k)为从1~m这m个数中取k个数的所有组合结果。组合的结果保存在数组元素a[1]~a[k]中，数组元素a[0]表示组合结果中元素的个数，显然，a[0]=k。
为求解comb(int a[],int m,int k)，可以先将k个数字组合的第一个数字i放在a[k]中，第一个数字i可以是m,m-1,…,k。注意：第一个数字i不能取k-1，因为后面的数字都会取比第一个数字小的数字，因此最多只能取出1~k-1共k-1个不同的数，达不到取k个数的目的。
在将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种选择：还未确定组合的其余元素时（k>1，即还需取k-1个元素），继续递归comb(a,i-1,k-1)确定组合的其余元素，即在1~i-1中取k-1个数；已确定组合的全部元素时（k==1），输出这个组合。
实现这一取数组合的递归函数可设计为：
void comb(int a[],int m,int k)
{
int i,j;
for (i=m;i>=k;i--)
{
a[k]=i;
if(k>1)
comb(a,i-1,k-1);
else
{
for (j=a[0];j>=1;j--)
cout<<a[j]<<" ";
cout<<endl;
}
}
}
解决了组合取数