斐波那契数列在很多问题上得到了应用。下面通过一些具体的实例加以说明。
【例1】钢管切割
问题描述
给一根长度为n的钢管，问最多能切割成几段钢管，使得截成的钢管互不相等且均不能构成三角形。
输入
输入文件的第一行包含整数T（1≤T≤10） ，表示测试用例的数量。
每个测试用例包含一行，包括整数N（1≤N≤1018）表示钢管的长度。
输出
对于每个测试用例，输出一行，一个整数表示它可以切割成的最大段数。
输入样例
1
6
输出样例
3
（1）编程思路。
本题是斐波那契数列的典型应用。
下面先以长度为150的钢管切割为例进行说明。
由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是存在两边之和不超过另一边。而要将钢管切割出的段数更多，则开始应尽可能切割出满足要求的长度最短的钢管，因此开始可以切割出一根长度为1和一根长度为2的两根钢管（切割出的钢管长度互不相同），第3根钢管的长度应该是3（为了使得切割的段数最大，因此要使剩下来的钢管尽可能长，因此每一根钢管总是前面的相邻2根钢管长度之和），之后依次为：1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为 142，与 150 相差 8，因此可以取最后一段钢管长度为 63，这时段数达到最大为 9。
在这个示例中，142是斐波那契数列的前项和，我们要把150超出142的部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有3根钢管可以构成三角形了。
（2）源程序。
#include <stdio.h> int main() { long long f[110]={0,1,2},fsum[110]={0,1,3}; int i; for (i=3; i<100; i++) { f[i] = f[i-1] + f[i-2]; fsum[i] = fsum[i-1] + f[i]; } int t; scanf("%d",&t); while (t--) { long long n; scanf("%lld",&n); for (i=1; i<100; i++) { if (fsum[i] == n) { break; } else if (fsum[i]>n) { i--; break; } } printf("%d\n",i); } return 0; }
将上面的源程序提交给HDU题库 HDU 5620 KK's Steel （http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5620），可以Accepted。
【例2】三角形
问题描述
给定n根直棒，能否在这n根直棒中找出3根棒子组成一个三角形。
输入
输入有多个测试用例。
每个测试用例都以包含整数n的行开始（1≤n≤106），这表示直棒的数量，然后是n个正整数（小于231?1） 用空格隔开。
输出
每个用例输出“YES”或“NO”表示可以或不能用三根直棒组成一个三角形。
输入样例
4
1 2 3 4
输出样例
YES
（1）编程思路。
由例1可知，三角形的三边关系定理和斐波那契数列存在着一定的联系。由于斐波拉契数列级别增长很快，因此若n>=50，肯定可以找到3根直棒组成三角形。
如果不能组成三角形，输入数的个数 n< 50。将这n个数从小到大排序，排序后，再遍历这n个数，若存在相邻两个数的和大于之后的1个数，即存在a[i-2]+a[i-1]>a[i]，则这3根直棒可以组成三角形。
（2）源程序。
#include <stdio.h> int main() { int n; while (scanf("%d",&n)!=EOF) { int i,j; int flag = 0; if (n < 50) { int a[50]; for (i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]); for (i=0;i<n-1;i++) for (j=0;j<n-1-i;j++) if (a[j]>a[j+1]) { int tmp; tmp=a[j]; a[j]=a[j+1]; a[j+1]=tmp; } for (i = 0; i < n - 2; i++) if (a[i]+a[i+1]>a[i+2]) { flag = 1; break; } } else { int x; for (i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &x); flag = 1; } if (flag) printf("YES\n"); else printf("NO\n"); } return 0; }
将上面的源程序提交给HDU题库 HDU 6512 Triangle （http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6512），可以Accepted。
【例3】不包含相邻1的序列
问题描述
给定正整数n，确定在长度为n的0、1序列中不包含相邻1的序列的数量。例如，对于n＝3，答案是5（序列000、001、010、100、101满足要求，而011、110、111是不满足要求的）。
输入
第一行包含测试用例的数量。
对于每一个测试用例，在一行中单独给定一个小于45的正整数。
输出
每个测试用例的输出都以包含“Scenario #i：”的行开始，其中i是从1开始的测试用例数。然后输出一行，其中包含没有相邻1的n位序列个数。用空行终止方案的输出。
输入样例
2
3
1
输出样例
Scenario #1:
5
Scenario #2:
2
（1）编程思路。
设a[i]表示长度为i的0、1序列中不包含相邻1的序列的数量，在长度为 i 的序列后面再加上1位可以构成长度为 i+1 的序列。若后面添加0，直接添加在长度为i的序列后面即可，有a[i]种序列；若后面添加1，则前面只能为0，即在长度为i-1的合法序列后面添加“01”，有a[i-1]种序列。 因此，a[i+1]=a[i]+a[i-1]。也就是斐波那契数列。
（2）源程序。
#include <stdio.h>