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Gym100025K
2019-04-05 22:08:16 】 浏览:66
Tags:Gym100025K

矩阵快速幂

设答案为f(i)

举个例子:

i==2时,包含0的值有:10,20,30,40,50,60,70,80,90,100;0的个数为11,f(2)=11;

i==3时;可以从i==2的情况递推,

第一步:i==2时的数据范围:1-100;在这100个数后面补0;补0后,这些数在1-1000的范围之内,合法,0的个数增加了100个,也就是10^(i-1);

第二步:把i==2时包含0的有效值拿出来,在这些值后面补0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;

比如70;补数之后就成了:700,701,702,703,704,705,706,707,708,709;这样70里面0的个数就被计算了10次。至于700里面由于后面补零增加的一个0,这个可以发现已经在第一步中计算过了。因此加上10*f(i-1);

但要知道100后面补数的话,1001,1003,1003,1004,1005,1006,1007,1008,1009都是不合法的。不合法的情况有9种,每种里面包含0的个数为(i-1)

因此递推式为f(i)=10*f(i-1)+10^(i-1)-9*(i-1);

接下来就可以愉快的矩阵快速幂了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[10];
#define ll long long
ll mod;
ll res[4][4];
ll ans[4];
void Ans()
{
    ll tmp[4]={0};
    for(int i=0;i<4;++i)
    {
        for(int j=0;j<4;++j)
        {
            tmp[i]=(tmp[i]+res[i][j]*ans[j])%mod;;
        }
    }
    for(int i=0;i<4;++i)ans[i]=tmp[i];
}
void A()
{
    ll tmp[4][4]={0};
    for(int i=0;i<4;++i)
    {
        for(int j=0;j<4;++j)
        {
            for(int k=0;k<4;++k)tmp[i][j]=(tmp[i][j]+res[i][k]*res[k][j])%mod;
        }
    }
    for(int i=0;i<4;++i)for(int j=0;j<4;++j)res[i][j]=tmp[i][j];
}
void init(ll n)
{
    --n;
    res[0][0]=10%mod;res[0][1]=10%mod;res[0][2]=(-9%mod+mod)%mod;
    res[1][1]=10%mod;
    res[2][2]=res[2][3]=1;
    res[3][3]=1;
    for(int i=0;i<4;++i)ans[i]=1;
    while(n){
        if(n&1)Ans();
        n>>=1;A();
    }
    cout<<ans[0]<<endl;
}
int main()
{
    /*
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<=6;++i){
        f[i]=10*f[i-1]+pow(10,i-1)-9*(i-1);
        cout<<f[i]<<endl;
    }
    */
    freopen("zeroes.in","r",stdin);
    freopen("zeroes.out","w",stdout);
    ll k;
    cin>>k>>mod;
    if(mod==1)cout<<0<<endl;
    else init(k);
}

 


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