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魔方阵的构造(一)
2019-06-08 12:08:01 】 浏览:43
Tags:方阵 构造

       由n*n个数字所组成的n阶方阵,若具有各对角线、各横列与纵行的数字和都相等的性质,则称为魔方阵。这个相等的和称为魔术数字。若填入的数字是从1到n*n,称此种魔方阵为n阶正规魔方阵。

如下所示为一个3阶魔方阵和一个四阶魔方阵。

       魔方阵的构建方法很多,一般将n分为三类,这三类n构成的魔方阵的算法各不相同。

        (1)当n为奇数,即n=2*k+1时,常采用简捷连续填数法。

        (2)当n为单偶数(n是偶数,但又不能被4整除),即n=4*k+2时,常采用井字调整法。

        (3)当n为双偶数(n能被4整除),即n=4*k时,常采用双向翻转法。

  • 构造奇数阶魔方阵

        奇数阶魔方阵的构造方法为:

        首先把1放到顶行的正中间,然后把后继数按顺序放置在右上斜的对角线上,并作如下修改:

        (1)当到达顶行时,下一个数放到底行,好像它在顶行的上面;

        (2)当到达最右端列时,下一个数放在最左端列,好像它紧靠在右端列的右方;

        (3)当到达的位置已经填好数时,或到达右上角的位置时,下一个数就放在刚填写数的位置的正下方。

        下面以构造一个3阶魔方阵为例,说明这种方法的构造过程,具体如图1所示。

图1  简捷连续填数法构造3阶魔方阵

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sp;       程序中定义一个二维数组a[N][N]来保存方阵,初始时,数组中所有元素均置0。

        用变量row和col来存储待填数字num在方阵中的位置,由于第1个数字放在顶行的正中间,因此初始时,行row=0,列col=n/2,待填写数字num=1。

        采用简捷连续填数法构造方阵的过程是一个循环程序,描述为:

While (待填写数字num<=n*n)

{

     确定待填写数字num应该填写的位置row和col;

     填写num,即a[row][col]=num;

     Num++;    // 下一个待填写的数字

}

        程序中,确定待填写位置的方法是:

        (1)后继数按顺序放置在右上斜的对角线上,即row--;  col++;

        (2)有三种情形需要调整。

                当到达顶行时(即row<0),  row=n-1;   

                当到达最右端列时(即col==n), col=0;

                当到达的位置已经填好数时(即(a[row][col]!=0),  row+=2;     col--; 

        (3)有一种情况,当到达右上角的位置时(row==0 && col==n-1),直接进行特殊处理,row++  。

  •  源程序及运行结果

#include <iostream>

#include <iomanip>

using namespace std;

int main()

{   

       int a[9][9],row,col,num,n;

      cin>>n;

    for (row=0;row<n;row++)          // 初始化,数组中所有元素均置0

      for (col=0;col<n;col++)

             a[row][col]=0;

    row=0;     col=n/2;    num=1;

    a[row][col]=num;

    while (num<n*n)

    {

       num++;

       if (row==0 && col==n-1)        // 到达右上角的位置 

         row++;

       else

          {

           row--;     col++;

            if (row<0)  row=n-1;

            if (col==n) col=0;

            if (a[ro
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