树上路径带修第k大问题，没有强制在线。

主体思想：l[x]为点x的dfs序，r[x]为子树x中最后一个节点的dfs序，sum[i]为dfs序为1~i的节点的某种和，d为x,y的lca，则路径x~y的和=sum[l[x]]+sum[l[y]]-sum[l[d]]-sum[l[fa[d]]]。单点修改是对子树范围差分即l[x]处+=w,r[x]+1处-=w。

这道题sum用主席树维护，查询时值域上二分即可。

#include <bits/stdc++.h>
#define trvl(x,i,y) for(int i=ehd[x],y; y=to[i],i; i=lst[i]) 
using namespace std;
const int N=8e4+10;
const int M=8e6+10;

int n,m,T,a[N],b[N*2];
int ect,ehd[N],to[N*2],lst[N*2];
int cid,lid[N],rid[N],fa[N][20],dep[N];
int cnt,rt[N],siz[M],lc[M],rc[M];

void insert(int x,int y) {
    to[++ect]=y,lst[ect]=ehd[x],ehd[x]=ect;
    to[++ect]=x,lst[ect]=ehd[y],ehd[y]=ect;
}
void dfs(int x,int p) {
    lid[x]=++cid;
    dep[x]=dep[fa[x][0]=p]+1;
    for(int i=1; (1<<i)<=dep[x]; ++i) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
    trvl(x,i,y) if(y!=p) dfs(y,x);
    rid[x]=cid;
}
int get_lca(int x,int y) {
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    int dif=dep[x]-dep[y];
    for(int i=19; ~i; --i) if((dif>>i)&1) x=fa[x][i];
    if(x==y) return x;
    for(int i=19; ~i; --i) if(fa[x][i]!=fa[y][i]) 
        x=fa[x][i],y=fa[y][i];
    return fa[x][0];
}
void mdf(int&x,int l,int r,int p,int w) {
    if(!x) x=++cnt; 
    siz[x]+=w; if(l==r) return;
    int mid=(l+r)>>1; 
    if(p<=mid) mdf(lc[x],l,mid,p,w);
    else mdf(rc[x],mid+1,r,p,w);
}
void mdf(int x,int p,int w) {
    for(; x<=n; x+=x&-x) mdf(rt[x],1,T,p,w);
}
int top[2],d[2][N];
int kth(int l,int r,int k) {
    if(l==r) return l;
    int mid=(l+r)>>1,s=0;
    for(int i=1; i<=top[0]; ++i) s+=siz[lc[d[0][i]]];
    for(int i=1; i<=top[1]; ++i) s-=siz[lc[d[1][i]]];
//  printf("<%d,%d,%d> %d\n",l,r,k,s);
    
    if(k<=s) {
        for(int i=1; i<=top[0]; ++i) d[0][i]=lc[d[0][i]];
        for(int i=1; i<=top[1]; ++i) d[1][i]=lc[d[1][i]];
        return kth(l,mid,k);
    } else {
        for(int i=1; i<=top[0]; ++i) d[0][i]=rc[d[0][i]];
        for(int i=1; i<=top[1]; ++i) d[1][i]=rc[d[1][i]];
        return kth(mid+1,r,k-s);
    }
}

int qK[N],qA[N],qB[N];

int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m); T=n;
    for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d",a+i),b[i]=a[i];
    for(int x,y,i=n; --i; ) scanf("%d%d",&x,&y),insert(x,y);
    for(int i=1; i<=m; ++i) {
        scanf("%d%d%d",qK+i,qA+i,qB+i);
        if(!qK[i]) b[++T]=qB[i];
    }
    dfs(1,0);
    sort(b+1,b+T+1);
    T=unique(b+1,b+T+1)-b-1;
    for(int i=1; i<=n; ++i) {
        a[i]=lower_bound(b+1,b+T+1,a[i])-b;
        mdf(lid[i],a[i],1);
        mdf(rid[i]+1,a[i],-1);
    }
    for(int i=1; i<=m; ++i) {
        if(!qK[i]) {
            int x=qA[i];
            mdf(lid[x],a[x],-1);
            mdf(rid[x]+1,a[x],1);
            a[x]=lower_bound(b+1,b+T+1,qB[i])-b;
            mdf(lid[x],a[x],1);
            mdf(rid[x]+1,a[x],-1);
        } else {
            top[0]=top[1]=0;
            int lca=get_lca(qA[i],qB[i]);
            
//          printf("%d,%d,%d,%d\n",qA[i],qB[i],lca,fa[lca][0]);
            
            for(int x=lid[qA[i]]; x; x-=x&-x) d[0][++top[0]]=rt[x];
            for(int x=lid[qB[i]]; x; x-=x&-x) d[0][++top[0]]=rt[x];
            for(int x=lid[lca]; x; x-=x&-x) d[1][++top[1]]=rt[x];
            for(int x=lid[fa[lca][0]]; x; x-=x&-x) d[1][++top[1]]=rt[x];
            int s=dep[qA[i]]+dep[qB[i]]-dep[lca]-dep[fa[lca][0]];
            if(s<qK[i]) puts("invalid request!");
            else printf("%d\n",b[kth(1,T,s-qK[i]+1)]);
        }
    }
    return 0;
}