本文为原创???
作者写这篇文章的时候刚刚初一毕业……
如有错误请各位大佬指正
从例题入手
Step0:读题
Q:暴力?
如果您学习过dp
不难推出dp方程
设dp[i]表示放置前i个物品需要的最小价值
dp[i]=min(dp[j]+(sum[i]-sum[j-1]+i-j-L)^2)
sum[i]表示前缀和
暴力分有了!!恭喜!
下面我们引入斜率优化:
首先进行一个变形:
原来的式子可以变为:f[i]=min(f[j]+(sum[i]-sum[j]+i-j-L-1)^2)
令a[i]=sum[i]+i,b[i]=sum[i]+i+L+1
f[i]=min(f[j]+(a[i]-b[j])^2)
f[i]=min(f[j]+a[i]^2+b[j]^2-2*a[i]*b[j]) 初一公式!展开平方!
把b[j]看做x,f[j]+b[j]^2看做y
y=2*a[i]x+dp[i]-a[i]^2
这就是一条是直线的解析式!
y=kx+b,k=2*a[i],b=f[i]-a[i]^2
要找到一个点P(b[j],f[j]+b[j]^2)使得上面的斜率为2*a[i]的直线穿过这个点且与y 的轴截距最小
因为斜率k=2*a[i]是固定的,所以要求的就是最小的b,加上a[i]^2就是dp[i]的值。
很明显就是维护一个下凸壳
令a[i]=sum[i]+i
斜率单调递增!
code:推荐照着讲解看
#include<bits/stdc++.h> #define ll long long #define inf 0x7fffffff #define un unsigned #define ull un ll #define int ull using namespace std; #define maxn 50009 int n,l,a[maxn]; int f[maxn],g[maxn]; int q[maxn]; int Q(int x){return x*x;} double Get(un j,un k)//求斜率 { return ((f[j]+Q(g[j])+2*l*g[j])-(f[k]+Q(g[k])+2*l*g[k]))/(double)(g[j]-g[k]); } signed main() { scanf("%llu%llu",&n,&l); l++; int s=1,t=1; int K; q[s]=0; for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%llu",&g[i]); g[i]=g[i]+g[i-1]; } for(int i=1;i<=n;i++)g[i]+=i; for(int i=1;i<=n;q[++t]=i++) { K=g[i]<<1; while(s<t&&Get(q[s+1],q[s])<=K) s++; int j=q[s]; f[i]=f[j]+Q(g[i]-g[j]-l); while(s<t&&Get(q[t],q[t-1])>=Get(i,q[t]))t--; } printf("%llu\n",f[n]); return 0; }