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P1352 没有上司的舞会+P1122 最大子树和(树形DP入门)
2023-07-23 13:39:10 】 浏览:77
Tags:P1352 司的舞 P1122 树形 入门

前言

今日偶然打开 \(oi-wiki\),发现树形 \(DP\) 例题正好是之前在洛谷上鸽着的一道题。所以......

\(\color{red}{很高兴以这样的方式认识你,树形 DP !}\)

这例题造的太好了,简直是无痛入门(感动.jpg)

P1352 没有上司的舞会

题目传送门~

思路剖析

状态定义

\(dp_i\) 表示的是以 \(i\) 为根节点的子树所获得的最大价值。

由于每个节点代表着一位人物,有来与不来两种状态,所以再加一维状态变量。

\(dp_{i,0}\) 表示以 \(i\) 为根节点的子树所能获得的最大价值,且这位人物没来。 \(dp_{i,1}\) 则对应来了的状态。

状态转移方程

 现在有个周年庆宴会,宴会每邀请来一个职员都会增加一定的快乐指数 r_i。
 但是呢,如果某个职员的直接上司来参加舞会了,那么这个职员就无论如何也不肯来参加舞会了。

根据题意描述,容易得出状态转移方程:

\(dp_{i,0} += max (dp_{j,0},dp_{j,1})\)

\(dp_{i,1} += dp_{j,0}\)

\(j\) 指的是 \(i\) 的子节点,且显然 \(dp_{i,1}\) 的初始值为 \(r_i\)

code

点击查看代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,a[6005];
int head[6005],nex[6005],edge[6005],tot;
int vis[6005],dp[6005][2];
void dfs(int x){
	dp[x][1]=a[x];
	for(int i=head[x];i;i=nex[i]){
		int y=edge[i];
		dfs(y);
		dp[x][1]+=dp[y][0];
		dp[x][0]+=max(dp[y][0],dp[y][1]);
	}
	return;
} 
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<n;i++){
		int l,k;
		scanf("%d%d",&l,&k);
		nex[++tot]=head[k];
		head[k]=tot;
		edge[tot]=l;
		vis[l]=1;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){
			dfs(i);
			cout<<max(dp[i][0],dp[i][1])<<endl;
			return 0;
		}
	}
}

P1122 最大子树和

题目传送门~

思路剖析

谁是根节点

由于这题是无向图(但由于以 \(n-1\) 条边相连接,所以本质与树并无太大区别),所以要讨论以谁作为根节点。

根节点之所以重要,是因为在递归过程中,我们已经默认根节点所代表的那束花已经被保留了,但根节点代表的花不一定在最优解的集合之中。

仔细模拟后,不难发现,对于以 \(i\) 为根节点的子树,\(dp_i\) 往下为最优解,而往上由于还未更新,因此相当于剪去 \(dp_i\) 与其根节点的枝桠。

进一步推理,无论通过哪个节点作为根节点,再递归的过程中,其实已经变相枚举了将其剪去的种种情况,所以,只需要在过程中取最优解即可。

状态定义+状态转移方程

这点比较好理解,所以合并在一起阐述。

\(dp_i\) 表示以 \(i\) 为根节点的子树所获得的最大美丽值。

显然有

\(dp_i+=max(dp_j,0)\)

\(j\) 为子节点,当其所带来的价值为负数时,不如直接剪掉。

code

有几处雷点在注释中标记出来了(都是血泪教训啊QAQ)

点击查看代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,ans=-0x3f3f3f3f;//答案可能为负!要初始化为负无穷
int head[16005],nex[35005],edge[35005],tot;//由于是双向边,所以空间要开双倍
int dp[16005],vis[16005];
void dfs(int x){
	vis[x]=1;//不要在循环内标记,否则标记不到根节点本身。
	for(int i=head[x];i;i=nex[i]){
		int y=edge[i];
		if(vis[y]) continue;
		dfs(y);
		if(dp[y]<=0) continue;
		dp[x]+=dp[y]; 
	}
	ans=max(ans,dp[x]);
	return;
} 
void add(int l,int k) {nex[++tot]=head[k],head[k]=tot,edge[tot]=l;}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&dp[i]);
	for(int i=1;i<n;i++){
		int l,k;
		scanf("%d%d",&l,&k);
		add(l,k);
		add(k,l);
	}
	dfs(1);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

\(7、8\) 道,(???)。

加油!

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