树状数组介绍
树状数组，顾名思义，就是树状的一维数组。
二叉树同样也可以用一维数组存储。我们以二叉树进行类比。
如图所示，图中节点的序号就是存在数组中的下标。
记父节点序号为 \(p\),子节点序号为 \(s\)。
则有:
\(p\) \(=\) \(s\) \(/\) \(2\) (向下取整)。
左子节点 \(s_{left}\) \(=\) \(p\) \(* 2\) 。
右子节点 \(s_{right}\) \(=\) \(p\) \(*2+1\) 。
综上可知，二叉树能用一维数组存，是由于其父子节点间存在一定关系，以至于不需要用额外的变量来表示信息。
那类比到树状数组中，可以发现：
\(c\)数组即为树状数组。\(c_i\) 表示区间\(a\)\([i-lowbit(i),i]\) 的和。
同样记父节点下标为 \(p\) ,子节点下标为 \(s\)。
则有：
\(p\) \(=\) \(s\) \(+\) \(lowbit(s)\)。
由这条公式亦可反推出：
\(s\) \(=\) \(p\) \(-\) \(2^i\)(\(0 \le i < p_{last}\))
这里的 \(p_{last}\) 指的是 \(p\) 二进制表示下最后一位 \(1\) 所在的位数。
例如：\(6\) 的二进制数表示为 \(110\),则它的 \(p_{last}\) 为 \(1\)。（这里的位数从右往左从\(0\)开始记）。
因为公式 \(1\) 由 \(s\) 加上自身 \(lowbit(s)\) 得到 \(p\) 其过程一定会产生进位。且 \(lowbit(s)\) 一定小于 \(lowbit(p)\) ,所以可以倒推得到子节点。
由于以上关系，树状数组不仅可以用一维数组存。而且还衍生出了一系列用途。
树状数组功能
单点增加
Q：给序列中的一个数 \(a[x]\) 加上 \(y\) 。此时如何维护树状数组？
A:将所有包含 \(a[x]\) 的节点加上 \(y\) 即可，也就是 \(c[x]\) 和它所有的祖先节点。
ps:初始化时亦可运用此操作。
点击查看代码
void add(int x,int y){
for (; x <= N;x += x&-x) c[x] += y;
return ;
}
动态维护前缀和
之所以说动态维护，因为用树状数组维护前缀和只需要 \(\log N\) 的时间复杂度。更为优秀。
Q：求 \(a\) 数组 \(a_i \sim a_x\) 的和。
A：将数 \(x\) 分成若干个区间。
区间共同特点：若区间结尾为 \(R\)，则区间长度就等于 \(lowbit（R）\)，即 \(R\) 二进制分解下最小的整数次幂。
举例：当 \(x\) = \(7\) 时
如图所示。
区间划分方式与树状数组相同。前面又提到“\(c\)数组即为树状数组。\(c_i\) 表示区间\(a\)\([i-lowbit(i),i]\) 的和。”
因此只需要将这几个区间所对应的 \(c_i\) 相加。即可得到前缀和。
点击查看代码
int ask(int x){
int ans = 0;
for (; x ; x -= x & -x) ans += c[x];
return ans;
}
例题【具体应用】
主要利用树状数组可以快速求前缀和的优势，以数据范围为下标，快速统计区间内的个数（或所需要的信息），适用于数据范围适中（一般为 \(0 \le x \le 10^6\)）且需要多次求前缀和的题目。
【例题1】 三元上升子序列
【题目分析】
对于一个数 \(x\) ,计算其作为 \(j\) 时，位置在它前面比它小的数 \(x_{min}\)、位置在它后面比它大的数 \(x_{max}\),运用乘法原理的知识可知，将\(x_{min} \times x_{max}\),即可得到 \(x\) 作为 \(j\) 时的方案数 ，枚举所有 \(x\) ,即可得到总方案数。
【树状数组作用】
统计 \(x_{min}\) 和 \(x_{max}\) 时，即可将数 \(x\) 的范围作为树状数组的下标。
此时两种操作所代表的意思分别为：
\(add(x,1)\) 表示数值为 \(x\) 的数的个数 \(+1\)。
\(sum(y)\) 表示在已经扫描过的区间内，数值为从 \(1 \sim y\) 的所有数的个数。
顺序扫描序列，对于数 \(x\) ,统计两个信息。
\(r_{i,0}\) 表示位置在数 \(x\) 前面，且比它小的数。
\(r_{i,1}\) 表示位置在数 \(x\) 前面，且比它大的数。
位置在数 \(x\) 后面，且比数 \(x\) 大的数就等于：
\(所有数 - 所有位置在 x 前面比 x 小的数 - r{i,1}\)。
【code】
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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
ll tree[100005],n,num;
ll r[40005][2],a[100005];
void add(ll x,ll y){
for(;x<=100005;x+=(x&-x)) tree[x]+=y;
}
ll sum(ll x){
ll ans=0;
for(;x;x-=(x&-x)) ans+=tree[x];
return ans;
}
int main(){
scanf("%lld",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
ll x;
scanf("%lld",&x);
a[i]=x;
num=max(num,x);
add(x,1);
r[i][0]=sum(x-1);
r[i][1]=sum(num)-sum(x);
}
ll ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
ans+=r[i][0]*(sum(num)-sum(a[i])-r[i][1]);
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
【summary】
此题算是初步认识了以数值范围为下标的树状数组的用法。下一大点求逆序对的思想与此相同。
【例题2】 [USACO04OPEN] MooFest G 加强版
【题目分析】
将奶牛按照音量从小到大进行排序，保证当前奶牛的音量一定最大，然后分类讨论所有比当前奶牛音量小的奶牛与当前奶牛的距离(坐标比当前奶牛大的和坐标比当前奶牛小的)。两者相加，乘上当前奶牛音量，枚举每个奶牛，即可得到答案。
【树状数组作用】
定义两个树状数组，都是以距离的范围作为下标， \(c\) 数组用于统计对应距离的个数，\(t\) 数组用于表示对应距离 \(\times\) 对应 距离个数的总数，通过二者，即可快速计算距离差。
【code】
计算过程的解释已在代码中注释出来。
点击查看代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,t[50005],c[50005];
struct A