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AC 自动机学习笔记
2023-09-09 10:25:48 】 浏览:251
Tags:习笔记

前言

AC自动机(\(Aho\ Corasick\ Atomaton\))有着一种 \(KMP\) 的思想,所以在学习之前建议先学一下 \(KMP\)。同时还需要了解一下 \(Trie\) 树(建议去看一下 oi-wiki 上的字典树

问题描述

给定一个字符串 \(S\)\(n\) 模式串,问有多少个模式串在 \(S\) 中出现过。

首先我们把 \(n\) 个模式串组成一个 \(Trie\)(就当你们学会了 \(Trie\) 树)
image

模式串:\(ABC,BCD,BD,C\),其中绿色的点表示字符串的结尾。

对于 \(|S|=ABCBCD\),那么我们在 \(Trie\) 上开始匹配,最开始会经过 \(2,3,4\) 三个点到 \(4\) 的时候,发现已经成功匹配了一个模式串了,那么现在我们需要从根在匹配一次吗?

显然的,不需要,\(KMP\) 的思想可以运用在这个 \(Trie\) 树上,我们在匹配完 \(4\) 的时候可以直接来到 \(7\) 然后再匹配到 \(8\)

对于从 \(4\)\(7\) 这个步骤,我们称 \(7\)\(4\)\(Fail\)(失配指针)。

\(Fail\) 指针

刚才说了 \(Fail\) 是失配指针,那么如果此时匹配失败,那么就到达这个指针指向的位置,所以,失配指针指向的节点是当前节点所代表的串,最长的、能与后缀匹配的,且在 \(Trie\)
中出现过的前缀所代表的节点。

我们设点 \(x\) 的父亲的 \(Fail\) 指针指向的是 \(p\),那么如果 \(p\) 的儿子 \(y\)\(x\) 相同,那么 \(x\)\(Fail\) 指针指向的就是 \(y\)(应该挺好理解的吧)。

那么如果没有儿子呢?

那就再造一个儿子,就把当前节点的子节点指向当前节点的 \(fail\) 节点的子节点。

而且发现每个点 \(fail\) 指向的节点都比当前节点小,那么第二层的 \(fail\) 就指向根节点。

然后对于失配指针 \(Fail\) 我们需要使用 \(BFS\) 来实现。


inline void Get_fail(){
	for(int i=0;i<26;i++)
		if(ch[0][i])
			q.push(ch[0][i]),fail[ch[0][i]]=0;
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();
		q.pop();
		for(int i=0;i<26;i++)
			if(ch[u][i]) fail[ch[u][i]]=ch[fail[u]][i],q.push(ch[u][i]);
			else ch[u][i]=ch[fail[u]][i];//没有子节点,就把当前节点的子节点指向当前节点的fail节点的子节点
	}
}

查询

首先,指针指向根节点,依次读入单词,检查是否存在这个子节点。

然后指针跳转到子节点,如果不存在,直接跳转到失配指针即可。


inline int query(string s){
	int len=s.size(),v=0,res=0;
	for(int i=0;i<len;i++){
		v=ch[v][s[i]-'a'];
		for(int j=v;j&&val[j]>=0;j=fail[j]){
			res+=val[j];
			val[j]=-1;
		}
	}
	return res;
}

时间复杂度:\(O(|\Sigma|M)\)\(| \Sigma |\) 一般来说是 \(26\))。

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