前言

二叉排序树（又称二叉查找树、二叉搜索树），在进行查找、插入及删除操作时其平均时间复杂度为O（logn），但是它们的最坏时间复杂度都是O（n）和顺序查找的效率相同，出现这种情况的原因在于它们虽然对关键字值进行了排序，但是并没有对树的形状进行限制。即当关键字序列有序时，就会出现这种最坏情况（单侧的二叉树），平衡二叉树的引入就可以对其进行有效调整。

例如：对于关键字序列（12,24,37,45,53,93）建立二叉排序树为图（b），调整成为平衡二叉树后为图（a）

平衡二叉树又称AVL树，它或者是一棵空树，或者是它的左、右树都是平衡二叉树且左、右字数的高度之差的绝对值不超过1。平衡二叉树的重点和难点就是，在一棵二叉排序树中插入结点后，将其调整为平衡二叉树。对于失去平衡的二叉树可以归纳为4种类型：RR型、LL型、RL型、LR型

4种类型

（1）RR型――单向左旋平衡处理

在A的右孩子C的右子树E上插入结点F，A的平衡因子由-1变为-2，二叉树失去平衡。此时需要进行一次逆时针旋转，使C左上旋转代替A作为根节点，A左下旋转为C的左孩子，且C原来的左子树变为A的右子树

（2）LL型――单向右旋平衡处理

在A的左孩子B的左子树C上插入结点F，A的平衡因子由1变为2，二叉树失去平衡。此时需要进行一次顺时针旋转，使B右上旋转代替A作为根节点，A右下旋转为B的右孩子，且B原来的右子树变为A的左子树

（3）RL型――双向旋转，先右后左

在A的右孩子C的左子树D上插入结点F，A的平衡因子由-1变为-2，二叉树失去平衡。此时需要进行两次旋转，将二叉树分为两部分：第一次旋转是将圈中D结点右上旋转为代替C结点，C结点右下旋转变为D的右孩子，使整个二叉树变为RR型；第二次旋转按照RR型的调整方法进行操作即可

（4）LR型――双向旋转，先左后右

在A的左孩子B的右子树D上插入结点F，A的平衡因子由1变为2，二叉树失去平衡。此时需要进行两次旋转，将二叉树分为两部分：第一次旋转是将圈中D结点左上旋转代替B结点，B结点左下旋转变为D的左孩子，使整个二叉树变为LL型；第二次旋转按照LL型的调整方法进行操作即可

在对排序二叉树进行调整时，先从整体上看它属于哪种类型，确定了类型后再按照对应的平衡化方法进行调整。（注意：在做题的过程中切忌只看局部而忽略了整体，将RR或LL型的二叉树旋转两次，从而导致错误的结果）

小结：

平衡二叉树的调整很简单，只是用文字叙述起来很累赘，看图会比较清晰易懂。其它类型的排序二叉树可由以上4种类型转换得到，其中平衡化的核心就是“旋转优先”，掌握了这4种调整规律，平衡二叉树也就理解的差不多了