问题1：找硬币，换钱的方法

输入：

penny数组代表所有货币的面值，正数不重复
aim小于等于1000，代表要找的钱
输出：
换钱的方法总数

解法1：经典dp，空间复杂度O（n*aim）

class Exchange {
public:
    int countWays(vector<int> penny, int n, int aim) {
        if (penny.empty()||n == 0)
            return 0;
        vector<vector<int> > dp(n,vector<int>(aim+1)); //二维数组dp
        for (int i = 0;i < n;i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        for (int j = 1;j < aim+1;j++) {
            dp[0][j] = j%penny[0] == 0?1:0;  //只需要算dp[0][j]
        } 
         
        for (int i = 1;i < n;i++) {
            for (int j = 1;j < aim+1;j++) {
                dp[i][j] = (j-penny[i]) >= 0?(dp[i-1][j] + dp[i][j-penny[i]]):dp[i-1][j];  //这是关键，不用管penny【i】到底使用了几次，直接减去1次使用就好               
            }
        }
        return dp[n-1][aim];
    }
};

解法2：与上面的问题一样，只不过在求dp时只使用1维数组来做；使用迭代，时间复杂度一样：

class Exchange {
public:
    int countWays(vector<int> penny, int n, int aim) {
        vector<int> dp(aim + 1);
        for (int i = 0; i <= aim; i++)
            if (i % penny[0] == 0)
                dp[i] = 1;
 
        for (int i = 1; i < n; i++)
            for (int j = 1; j <= aim; j++)
                if ( j >= penny[i]) //条件，如果不满足就直接等于上轮的结果，不用做修改
                    dp[j] += dp[j - penny[i]];
        return dp[aim];
    }
};

问题2：跳台阶问题：

其实是斐波那契问题，f(n)=f(n-1)+f(n-2)

#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
    int step;
    while(cin>>step){
        vector<int> dp(2,1); //初始化赋值
        dp[1]=2;
        int temp;
        for(int i=3;i<=step;i++){
            temp=dp[0];
            dp[0]=dp[1];
            dp[1]=dp[1]+temp;
        }
        if(step==1) dp[1]=1;;
        cout<<dp[1]<<endl;
    }
    return 0;
}

问题3：走矩阵，求路劲最小和，或者是求整个路径

n×m的map，则 f(n,m)=min(f(n-1,m),f(n,m-1))+map[n][m]；
由于这里和问题1类似，可以只用到一个一维数组求解；