二分算法是我们经常会用到的一个算法。它是分治法的一个应用。不过，虽然他写起来貌似很简单，但是却很容易写错。下面我们讨论一下二分的死循环问题。（这里讨论的是整数的二分问题，浮点数的二分不容易死循环）

1.查找的元素确定，值唯一或者不存在

这种情况等下，我们的流程分为三个分支：（相等、小于、大于）。这类不容易死循环，代码如下：

if ( data[mid] == key )
return mid;
if ( data[mid] > key )
r = mid-1;
else l = mid+1;

2.被查元素不确定，值可能有多个，找到第一个或者最后一个

这是最容易出现死循环的情况，也是本文讨论的核心。这种情况下，流程分成两个分支，我们分两种情况讨论：

a.取第一个小于key的元素：

if ( data[mid] >= key )
r = mid-1;
else l = mid;

我们看式子 mid = (l+r)/2

如果(l+r)为奇数，则

mid = (l+r)/2 = (l+r-1)/2 导出 2*mid = (l+r-1)/2*2 = l+r-1

这时，若 mid = l 则“else l = mid;”这句代码就会就会进入死循环。

所以这时使用 mid = (l+r+1)/2 代替 mid = (l+r+1)/2 就不会死循环了。

如果(l+r+1)为偶数，则

mid = (l+r+1)/2 = (l+r)/2 导出 2*mid = (l+r)/2*2 = l+r 不会出现问题。

(这时使用 mid = (l+r)/2 也不会死循环)

综上，这种情况下使用 mid = (l+r+1)/2 就不会死循环了，不过这不是通用式子，看b情况。

int bs( int l, int r, int key )
{
while ( l < r ) {
int mid = (l+r+1)/2;
if ( data[mid] >= key )
r = mid-1;
else l = mid;
}
return l;
}

b.取第一个大于key的元素：

if ( data[mid] <= key )
l = mid+1;
else r = mid;

我们看式子 mid = (l+r+1)/2

如果(l+r+1)为奇数，则

mid = (l+r+1)/2 = 导出 2*mid = (l+r+1)/2*2 = l+r+1

这时，若 mid = r 则“else r = mid;”这句代码就会就会进入死循环。

所以这时要使用 mid = (l+r)/2 代替 mid = (l+r+1)/2 才不会死循环了。

如果(l+r)为偶数，则

mid = (l+r)/2 导出 2*mid = (l+r)/2*2 = l+r不会出现问题。

(这时使用 mid = (l+r+1)/2 也不会死循环)

综上，这种情况下使用 mid = (l+r)/2 就不会死循环了。

int bs( int l, int r, int key )
{
while ( l < r ) {
int mid = (l+r)/2;
if ( data[mid] <= key )
l = mid+1;
else r = mid;
}
return r;
}

c.综合a、b得到结论取中值的计算方式与判断条件有关，下面加入一个小优化。

3.一步小优化，防止溢出

这里使用 mid = l+(r-l)/2 代替 mid = (l+r)/2 以及 mid = l+(r-l+1)/2 代替 mid = (l+r+1)/2。这样可以防止l+r和l+r+1溢出。下面证明两者的等价性。

a.l+r为奇数，则r-l为奇数,r-l+1为偶数

mid = l+(r-l+1)/2 = l*2/2 + (r-l+1)/2 = (l+r+1)/2

mid = l+(r-l)/2 = l*2/2 + (r-l-1)/2 = (r+l-1)/2 = (r+l)/2

b.l+r为偶数，则r-l为偶数，r-l+1为奇数

mid = l+(r-l+1)/2 = l*2/2 + (r-l)/2 =(l+r)/2 = (l+r+1)/2

mid = l+(r-l)/2 = l*2/2 + (r-l)/2 = (l+r)/2

c.综上所述上述替代成立。