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CH8 关系代数

8.1 关系代数

关系代数是SQL之外另一种描述数据库操作的形式化语言，关系变量（表）是关系代数中的基本表达式

关系代数三个重要的形式化定义如下：

σF(E) ：E一个表达式（基本表达式或表达式中间结果），F是关于E中属性的断言，相当于where从句中限制条件（Restrict操作） ΠA(E) ：E一个表达式，A是E属性的子集，相当于select从句（Projection操作） ρX(E) ：E一个表达式，X是E表达式结果的重命名

8.2 关系代数操作符

（1）基本算符

F断言中可以有逻辑运算符（与或非： ∧、∨、? ）以及关系运算符（ =,>,<,≥,≤,≠ ）

有集合运算符（并、交、差、笛卡尔乘积）： ∪,∩,?,×

左箭头 ← 为赋值操作

（2）Join操作

定义关系模式R(A,B,C,D)和S(E,B,D)的实例r、s的自然连接为：

r?s=Πr.A,r.B,r.C,r.D,s.E(ρr.B=s.B∧r.D=s.D(r×s))

（3）除操作

定义关系模式 R(A1,...,Am,B1,...,Bn) 和 S(B1,...,Bn) 的实例r、s的除法结果（商）为：

R?S={A1,...,Am}r÷s={t|t∈ΠR?S(r)∧?u∈s(tu∈r)}

用完全的关系代数表示为：

r÷s=ΠR?S(r)?ΠR?S(ΠR?S(r)×s?ΠR?S,S(r))

（4）聚合操作

聚合函数定义如SQL，包括了avg、min、max、sum、count等，形式化的关系代数聚合操作为：

G1,G2,...,GngF1(A1),...,Fm(Am)(E)

其中 G1,G2,...,Gn 是可以为空的group by， Fi 是作用在属性 Ai 上的聚合函数

8.3 关系代数数据库修改

（1）删除

删除操作的形式化定义为 r←r?E ，其中r是关系实例，E是关系代数查询表达式

（2）插入

插入操作的形式化定义为 r←r∪E ，其中r是关系实例，E是关系代数查询表达式或者常量元组集合

（3）更新

更新用Projection操作赋值给关系变量即可

CH9 关系演算

9.1 关系演算

关系演算是SQL、关系代数之外的又一种描述数据库操作的形式化语言，关系演算基本操作对象是范围变量（Range Variable，是关系变量/表的逻辑表达的别称）

关系演算基本语法为：

1.范围变量定义

   
    ::= RANGEVAR 
    
      RANGES OVER 
     
       2.范围属性定义 
      
       ::= 
       
        .
        
          [ AS 
         
           ] 3.布尔表达式 
          
           ::= ... all the usual possibilities, together with: | 
           
             4.量化布尔表达式（存在和所有） 
            
             ::= EXISTS 
             
              (
              
               )| FORALL 
               
                (boolean exp>) 5.关系操作 
                
                 ::= 
                 
                  [WHERE 
                  
                   ] 6.元组表达式 
                   
                     ::=

需要特别注意的是量化布尔表达式：

EXISTS v(P(v))只要有一个P(v)为真，即为真 FORALL v(P(v))需要所有P(v)为真，才为真 FORALL v(P(v))等价于NOT EXISTS v(NOT P(v))

`9.2 元组演算`

关系演算中元组演算就是对元组的操作，简单的元组演算和SQL十分相似：

// Find supplier numbers and status for suppliers in Paris with status >20 // Define a range variable RANGEVAR sx RANGES OVER S; // Where clause implement Restriction&Projection (sx.s#, sx.status) WHERE sx.city='paris' AND sx.status>20

较为复杂的元组演算引入量化布尔表达式：

// Find supplier names for suppliers who supply all parts. sx.sname WHERE FORALL px(EXISTS spx(spx.s# = sx.s# AND spx.p# = px.p#))

`9.3 其他操作`

关系演算其他操作，如聚合函数、集合操作等都和SQL较为相似，略

数据库复习9――关系代数和关系演算