断更博主上线！挑战2天学完复分析（2/2）
Ch1 复数与复变函数
1.1 复数的定义及其运算
证明复数不等式
合理利用三角不等式（命题1.1.4，p3）
1.2 复数的几何表示
求几何图形对应的复数方程
- 习题1.2.14
用复数证明几何定理
(感觉不是很重要，就不上图了)
- 例1.2.1
- 例1.2.2
1.3 扩充平面和复数的球面表示
用球面表示求距离/证明性质
貌似都是爆算……
Ch2 全纯函数
2.1 复变函数的导数
2.2 C-R 方程
研究函数可微性
法1：用定义
- 习题2.1.1
法2：用实可微 + C-R方程（\(\Leftrightarrow \frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=0\)）
- 例2.2.5
- 例2.2.6
研究函数\(f(z)=e^{-|z|^2}\)
证明是/不是调和函数
法1：用定义
法2：用 \(u\in C^2(D),\Delta u=4\frac{\partial ^2 u}{\partial z \partial \overline z}\)
2.4 初等全纯函数
单值解析分支存在性
定理：
（PPT 4,5 - P6）
定理：如果D是不包含原点和无穷远点的单连通域，那么Logz在D上有单值全纯分支。（PPT 4,5 - P9，书本 P54）
根号多值函数的单值解析分支问题
定理：
单值解析分支求值
法1：已知一个值，利用简单路径辐角求其他值
法2：直接计算
共形映射区域变换
- 例2.4.5
- 例2.4.6
2.5 分式线性变换
区域变换
法1：利用边界
- 例2.5.11
- 习题2.5.3
充分性：利用该映射把实轴映为实轴，找 \(z_1,z_2,z_3\rightarrow w_1,w_2,w_3\) 直接算出分式线性变换，再利用唯一性。
法2：利用对称点
- 例2.5.15
- 例2.5.16
- 例2.5.17
法3：找对应点，待定系数
- 习题2.5.20
法4：结合共形映射和分式线性变换（不知道怎么归类捏）
- 习题2.5.17
- 习题2.5.18
Ch3 全纯函数的积分表示
3.1 复变函数的积分
计算积分
运用下列公式：
- （换元法，Green 公式）
- （换元法，长大不等式，利用 \(\frac{dz}{(z-a)^n}\) 的积分公式）
- （恰当形式）
3.2 Cauchy 积分定理
计算积分
判断：单连通域；全纯函数；（导数连续；）可求长闭曲线。
3.4 Cauchy 积分公式
计算积分
利用 Cauchy 积分公式及其导数形式，把大的闭合曲线用 Cauchy 积分定理转换为小的包含奇点的曲线。
选取合适的曲线，可以在曲线上做极限运算等。
3.5 Cauchy 积分公式的一些重要推论
可以运用的重要推论：
证明整函数是常值函数
结合分式线性变换化为“有界整函数”，运用 Liouville 定理。
证明域上的连续函数全纯
运用 Morera 定理，讨论曲线的性质。
（事实上要作逼近，但是太烦了不如省略！）（溜）
Ch4 全纯函数的 Taylor 展开及其应用
4.1 Weierstrass 定理
证明级数内闭一致收敛
利用 Weierstrass 定理：
注意闭集的性质（最大模），和 内闭一致收敛 \(\Leftrightarrow\) 在域中任何闭圆盘上收敛。
4.2 幂级数
利用已知级数求给定级数
（最后一步反证法）
4.3 全纯函数的 Taylor 展开
求 Taylor 展开式
法1：利用 Taylor 展开定理
法2：利用反函数的展开求反 / 导数的展开积分
证明函数全纯
4.4 辐角原理和 Rouche 定理
求零点个数
法1：利用 Rouche 定理
注意选取函数 \(f(x),g(x)\)，记得做必要的放缩。
- 例4.4.12
- 例4.4.13
法2：利用辐角原理
先取简单闭曲线，证明简单闭曲线上没有零点，再计算围绕简单闭曲线走一圈的辐角变化，用辐角原理解零点个数。
- 例4.4.14
法3：利用 Hurwitz定理
把数学量转化为辐角
与定理4.4.4相关的推论
4.5 最大模原理和 Schwarz 引理
Schwarz 引理和分式线性变换的应用
可以使用的定理：
关键是灵活选取分式线性变换！（哭死，我不会）
全纯自同构的应用
分类讨论。当内部没有零点的时候，由最大模定理，是常函数 \(e^{i\theta}\)；当内部有零点的时候，设零点 \(a_1,...,a_t\) 重数分别为 \(k_1,...,k_t\) ，先运用 \(a_1\) 的全纯自同构 \(\varphi_{a_1}\)，得到
- （利用了最大模定理的证明思想）
Ch5 全纯函数的 Laurent 展开及其应用
5.1 全纯函数的 Laurent 展开
求函数的 Laurent 展开
- （先解出具体表达式，确定全纯的圆/圆环）
5.2 孤立奇点及其分类
- 可去奇点 \(\Leftrightarrow\) 函数在点附近有界
- 极点 \(\Leftrightarrow\) 倒数函数的零点
- m 阶极点 \(\Leftrightarrow\) 倒数函数的 m 阶零点 \(\Leftrightarrow\) 展开式全纯部分最低 -m 阶
- 本性奇点 \(\Rightarrow\) Weierstrass + Picard
5.3 整函数与亚纯函数
没太能 get 到题型，大家鉴赏一点题目吧（
5.4 留数定理 / 残数定理
计算留数
法1：乘以 \((z-a)^n\)，运用求导
法2：一重极点 + 分式型
法3：本性奇点或易于展开的形式：直接展开
计算积分
5.5 利用留数定理计算定积分
\(\int_{-\infty}^\infty f(x)dx\) 型积分
\(\int_{-\infty}^\infty R(\cos\theta,\sin\theta)d\theta\) 型积分
嘛玩意儿啊，其他两类先不整理了（
5.6 整亚纯函数的部分分式展开 & Mittag-Leffler定理
意外地发现 zgy 这张 PPT 的文本框旋转了一点 0 0
应用公式(1)-(3)解题
题解略。都利用了上面的公式拼凑想要的式子，因此核心在于记忆公式。
5.7 无穷乘积
略显简单，只需要用定义 + 等价条件即可。
5.8 函数项无穷乘积与典型乘积
证明存在满足取值条件的函数
构造（可待定系数） + 证明（收敛）
证明某函数 = 某级数
5.9 \(\Gamma\) 函数的无穷乘积定义
牢记几条重要公式：
（\(\Gamma\) 函数是阶乘的推广）
5.10 Stirling 公式和 \(\Gamma\) 函数定义的等价性
Ch6 调和函数初步和全纯开拓
6.1 调和函数基本性质
TODO
6.3 Poisson 公式 & 6.4 Schwarz 定理
运用公式解题
就嗯套公式……
运用 Schwarz 定理进行延拓 / 证明调和
参见 6.5 节定理的证明方式
6.5 Schwarz对称开拓原理
利用对称开拓原理解题
核心思路都是选取合适的开拓原理在某一步开拓，但开拓都是为证明全局服务 0 0
