单因素方差分析(One-Way Analysis of Variance)

判断控制变量是否对观测变量产生了显著影响

分析步骤

1. 建立检验假设

　　 - H0：不同因子水平间的均值无差异
　　- H1：不同因子水平间的均值有显著差异
　　- 【注意】有差异，有可能是所有因子水平间都存在差异，也有可能只有两个因子水平间的均值存在差异

2. 计算检验统计量F值

　　F = MSA / MSE
　　MSA = SSA / ( k - 1 )    MSA：组间均方, 对总体方差的一个估计
　　MSE = SSE / ( n - k )    MSE：组内均方,不论H0是否为真，MSE都是总体方差的一个无偏估计
　　SST = SSA + SSE        SST：总误差平方和，反映全部观测值的离散情况
       SSA:组间误差平方和，也称水平项误差平方和，反映各因子水平（总体）的样本均值之间的差异程度
       SSE: 组内误差平方和

3. 确定P值

4. 方差分析表

5. 根据给定的显著性水平，并作出决策

　　根据F值进行假设检验
　　根据选定的显著性水平，F值大于临界值时，将拒绝原假设
　　根据P值进行假设检验

 6. 进一步分析

     方差齐性检验

     多重比较检验

　　- 确定控制变量的不同水平对观测变量的影响程度
　　- 哪个水平的作用明显区别于其他水平
　　- 哪个水平的作用是不显著
　　- 等等

【python分析：用ols模块进行计算】

# 引入数据
import pandas as pd
data_value = { '无促销':[23,19,17,26,28,23,24,30],
              '被动促销':[26,22,20,30,36,28,30,32],
              '主动促销':[30,23,25,32,48,40,41,46]}# 因变量
da = pd.DataFrame( data_value ).stack()
da.columns = ['水平','观测值']

# ols模块进行分析

from statsmodels.formula.api import ols
from statsmodels.stats.anova import anova_lm 

formula = '{} ~ {}'.format(da.columns[1], da.columns[0])
model = ols( formula, da ).fit()
anovat = anova_lm(model)
print(anovat)

输出结果：

【python分析：用自定义函数进行计算】

def ANOVA_oneway( df, a = 0.05 ):
    from scipy.stats import f
    '''
    进行单因素方差分析
    输入值：df - pd.DataFrame，第一列为水平，第二列为观测值；a - 显著性水平，默认为0.05
    返回类型：字典
    返回值：方差分析相关数据
    '''
    res = { 'SSA':0, 'SST':0 }
    mu = df[df.columns[1]].mean()
    da = df.groupby( df.columns[0] ).agg( {df.columns[1]:['mean','count']})
    da.columns = ['mean','count']
    res['df_A'] = len(list(da.index)) - 1        # 自由度
    # 组间误差平方和
    for row in da.index:
        res['SSA'] += (da.loc[row,'mean'] - mu )**2 * da.loc[row,'count']
    # 总误差平方和
    for e in df[df.columns[1]].values:
        res['SST'] += (e - mu )**2         
    res['SSE'] = res['SST'] - res['SSA']         # 组内误差平方和
    res['df_E'] = len(df) - res['df_A'] - 1      # 残差自由度
    res['df_T'] = len(df) - 1                    # 总和自由度
    res['MSA'] = res['SSA'] / res['df_A']        # 组间均方
    res['MSE'] = res['SSE'] / res['df_E']        # 组内均方
    res['F'] = res['MSA'] / res['MSE']           # F值
    res['p_value'] = 1 - f(res['df_A'],res['df_E'] ).cdf( res['F'])  #p值
    res['a'] = a
    res['F_alpha'] = f(res['df_A'],res['df_E'] ).ppf( 1-a ) # 基于显著性水平a的F临界值 
    return res

def print_ANOVA_oneway( d, maxedg = 90 ):
    '''
    打印单因素方差分析表
    输入值：d - dict字典，包含分析表所需要的数据; maxedg - 打印输出时装饰分隔符的最大长度
    '''
    title = '【单因素方差分析表】'
    print( title.center( maxedg ))
    print( '=' *  maxedg )
    print( '{:^12s}|{:^16s}|{:^6s}|{:^16s}|{:^12s}|{:^10s}|'.format('误差来源','平方和','自由度','均方和','F','p值'))
    print( '-' *  maxedg )
    print( '{:8s}|{:>18,.4f} |{:>8d} |{:>18,.4f} |{:>11.6f} |{:>10.3%} |'.format( '组间（因子影响）',d['SSA'],d['df_A'],d['MSA'],d['F'],d['p_value']))
    print( '{:10s}|{:>18,.4f} |{:>8d} |{:>18,.4f} |'.format( '组内（误差）',d['SSE'],d['df_E'],d['MSE']))
    print( '{:14s}|{:>18,.4f} |{:>8d} |'.format( '总和',d['SST'],d['df_T']))
    print( '-' *  maxedg )
    print('备注：显著性水平为 {:.2%} 时，F的临界值是 {:.6f}。'.format(d['a'],d['F_alpha']))


p = 0.95 # 设定置信度水平
maxedg = 93 # 设定输出时装饰分隔符的最大长度
# 计算并输出单因素方差分析表
res = ANOVA_oneway( da, a = 1-p )
print_ANOVA_oneway( res, maxedg = maxedg )