最长公共子串问题的实现

　　最长公共子串问题：一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。最长公共子串就是求给定两个序列的一个最长公共子序列。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。

　　问题分析：

　　给定两个序列A和B，称序列Z是A和B的公共子序列，是指Z同是A和B的子序列。问题要求已知两序列A和B的最长公共子序列。如采用列举A的所有子序列，并一一检查其是否又是B的子序列，并随时记录所发现的子序列，最终求出最长公共子序列。这种方法因耗时太多而不可取。

　　考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

　　(1) 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列;

　　(2) 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列;

　　(3) 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

　　这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个 最长公共子序列;如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列 和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

　　为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法，具体说明如下。

　　定义c[i][j]为序列“a0，a1，…，ai-2”和“b0，b1，…，bj-1”的最长公共子序列的长度，计算c[i][j]可递归地表述如下：

　　(1)c[i][j] = 0 如果i=0或j=0;

　　(2)c[i][j] = c[i-1][j-1]+1 如果i,j>0，且a[i-1] = b[j-1];

　　(3)c[i][j] = max{c[i][j-1], c[i-1][j]} 如果i,j>0，且a[i-1] != b[j-1]。

　　按此算式可写出计算两个序列的最长公共子序列的长度函数。由于c[i][j]的产生仅依赖于c[i-1][j-1]、c[i-1][j]和c[i][j-1]，故可以从c[m][n]开始，跟踪c[i][j]的产生过程，逆向构造出最长公共子序列。细节见程序。

　　#include

　　编辑特别推荐: