可以看出sem()和cfa()这两个函数很相似，实际上，这两个函数现在几乎是一样的，但在将来可能发生变化。

在添加了standardized参数后，出现了Std.lv， Std.all两列，前者只有潜变量被标准化了，后者为所有变量都标准化了，也被称为“完全标准化解”。

6. 更多关于语法的内容

6.1 固定参数

对于一个对应4个指标的潜变量，lavaan默认将第一个指标的因子载荷固定为1，其他指标为自由。

但如果你有一个很好的理由来让所有因子载荷都固定为1，可以照如下做法：

f =~ y1 + 1*y2 + 1*y3 + 1*y4

一般来说，你需要通过给相关变量预先乘以一个数字来固定公式的参数，这个叫做“预乘机制”。

回想例1中的模型，默认3个潜变量两两相关。如果你想将某对变量的相关系数设为0，你需要为其添加一个协方差公式并将参数设为0.

在下面的语法中，除visual，textual间的协方差自由外，其他均设为0。并且我们希望固定speed的因子为一个单位，所以不需要设定第一个指标x7为1，因此我们给x7乘以NA使x7的因子载荷自由且未知，整个模型如下：

# three-factor model
  visual  =~ x1 + x2 + x3
  textual =~ x4 + x5 + x6
  speed   =~ NA*x7 + x8 + x9

# orthogonal factors 正交因子
  visual  ~~ 0*speed
  textual ~~ 0*speed

# fix variance of speed factor
  speed ~~ 1*speed 

你也可以用orthogonal = TRUE参数使所有潜变量正交，操作如下：

HS.model <- 'visual  =~ x1 + x2 + x3
             textual =~ x4 + x5 + x6
             speed   =~ x7 + x8 + x9'

fit.HS.ortho <- cfa(HS.model, data = HolzingerSwineford1939, orthogonal = TRUE)

相似的，你可以用std.lv = TRUE使所有潜变量的方差固定为一个单位：

HS.model <- 'visual  =~ x1 + x2 + x3
             textual =~ x4 + x5 + x6
             speed   =~ x7 + x8 + x9'

fit <- cfa(HS.model, data = HolzingerSwineford1939, std.lv = TRUE)

6.2 初值

lavaan包默认为自由参数自动生成初值，你也可以通过start()函数来自己设定初值，示例如下：

visual  =~ x1 + start(0.8)*x2 + start(1.2)*x3
textual =~ x4 + start(0.5)x5 + start(1.0)x6
speed   =~ x7 + start(0.7)x8 + start(1.8)x9

6.3 参数标签

我们也可以自己定义参数标签，标签不能以数字开头：

model <- '
  # latent variable definitions
    ind60 =~ x1 + x2 + myLabel*x3   #将ind60 =~ x3显示为myLabel
    dem60 =~ y1 + y2 + y3 + y4
    dem65 =~ y5 + y6 + y7 + y8
  # regressions
    dem60 ~ ind60
    dem65 ~ ind60 + dem60
  # residual (co)variances
    y1 ~~ y5
    y2 ~~ y4 + y6
    y3 ~~ y7
    y4 ~~ y8
    y6 ~~ y8'
    
fit <- sem(model,
           data = PoliticalDemocracy)
coef(fit)

结果如下：

6.4 修改器

我们预乘机制所使用的固定参数，修改初始值和参数标签等操作，都可以称为修改器，比如：

f =~ y1 + y2 + myLabel*y3 + start(0.5)*y3 + y4
#虽然y3项出现了两次，过滤器仍然会将y3作为一个指标对待

6.5 简单相等约束

有些情况我们会预设变量参数相等，可以用相同的label达到效果，也可以用equal()函数：

visual  =~ x1 + v2*x2 + v2*x3 
textual =~ x4 + x5 + x6
speed   =~ x7 + x8 + x9

#或者用equal()
visual  =~ x1 + x2 + equal("visual=~x2")*x3
textual =~ x4 + x5 + x6
speed   =~ x7 + x8 + x9

6.6 非线性相等和不相等约束

假设有如下回归方程：

y ~ b1*x1 + b2*x2 + b3*x3

我们用随机数生成一个数据集，并用sem函数拟合：

set.seed(1234)
Data <- data.frame(y = rnorm(100),
                   x1 = rnorm(100),
                   x2 = rnorm(100),
                   x3 = rnorm(100))
model <- 'y ~ b1*x1 + b2*x2 + b3*x3'
fit <- sem(model, data = Data)
coef(fit)

结果为：

    b1     b2     b3   y~~y
-0.052  0.084  0.139  0.970

如果我们想要为b1增加两个约束：\(b_1=(b_2+b_3)^2\) 和 \(b_1\ge\exp(b_2+b_3)\)，操作如下：

model.constr <- '# model with labeled parameters
                 y ~ b1*x1 + b2*x2 + b3*x3
                 # constraints
                 b1 == (b2 + b3)^2
                 b1 > exp(b2 + b3)'
fit <- sem(model.constr, data = Data)
coef(fit)

结果如下：

    b1     b2     b3   y~~y
 0.495 -0.405 -0.299  1.610

7. 引入平均值

总的来说，结构方程用来模拟指标变量的协方差矩阵，但是在一些应用中，引入指标变量的均值也是有用的。一个方法是求助于截距项，使用如下所示的“截距公式”：

variable ~ 1

右边的1代表截距，比如在例1中，我们可以增加截距项到指标变量中：

# three-factor model
  visual  =~ x1 + x2 + x3
  textual =~ x4 + x5 + x6
  speed   =~ x7 + x8 + x9
# intercepts
  x1 ~ 1
  x2 ~ 1 
  x3 ~ 1
  x4 ~ 1
  x5 ~ 1
  x6 ~ 1
  x7 ~ 1
  x8 ~ 1
  x9 ~ 1

然而还有一种更简单的方法：

fit <- cfa(HS.model,
           data = HolzingerSwineford1939,
           meanstructure = TRUE)
summary(fit)

结果如下：