什么是分位数回归

分位数回归(Quantile Regression)是计量经济学的研究前沿方向之一，它利用解释变量的多个分位数（例如四分位、十分位、百分位等）来得到被解释变量的条件分布的相应的分位数方程。

与传统的OLS只得到均值方程相比，分位数回归可以更详细地描述变量的统计分布。它是给定回归变量X，估计响应变量Y条件分位数的一个基本方法；它不仅可以度量回归变量在分布中心的影响,而且还可以度量在分布上尾和下尾的影响，因此较之经典的最小二乘回归具有独特的优势。众所周知，经典的最小二乘回归是针对因变量的均值（期望）的：模型反映了因变量的均值怎样受自变量的影响，

\(y=\beta X+\epsilon\)， \(E(y)=\beta X\)
分位数回归的核心思想就是从均值推广到分位数。最小二乘回归的目标是最小化误差平方和，分位数回归也是最小化一个新的目标函数：
\(\min_{\xi \in \mathcal{R}} \sum \rho_{\tau}(y_i-\xi)\)

quantreg包

quantreg即：Quantile Regression，拥有条件分位数模型的估计和推断方法，包括线性、非线性和非参模型；处理单变量响应的条件分位数方法；处理删失数据的几种方法。此外，还包括基于预期风险损失的投资组合选择方法。

实例

library(quantreg)  # 载入quantreg包
data(engel)        # 加载quantreg包自带的数据集

分位数回归(tau = 0.5)
fit1 = rq(foodexp ~ income, tau = 0.5, data = engel)         
r1 = resid(fit1)   # 得到残差序列，并赋值为变量r1
c1 = coef(fit1)    # 得到模型的系数，并赋值给变量c1

summary(fit1)      # 显示分位数回归的模型和系数
`
Call: rq(formula = foodexp ~ income, tau = 0.5, data = engel)

tau: [1] 0.5

Coefficients:
            coefficients lower bd  upper bd 
(Intercept)  81.48225     53.25915 114.01156
income        0.56018      0.48702   0.60199
`

summary(fit1, se = "boot") # 通过设置参数se，可以得到系数的假设检验
`
Call: rq(formula = foodexp ~ income, tau = 0.5, data = engel)

tau: [1] 0.5

Coefficients:
            Value    Std. Error t value  Pr(>|t|)
(Intercept) 81.48225 27.57092    2.95537  0.00344
income       0.56018  0.03507   15.97392  0.00000
`

分位数回归(tau = 0.5、0.75)
fit1 = rq(foodexp ~ income, tau = 0.5, data = engel) 
fit2 = rq(foodexp ~ income, tau = 0.75, data = engel)

模型比较
anova(fit1,fit2)    #方差分析
`   
Quantile Regression Analysis of Deviance Table

Model: foodexp ~ income
Joint Test of Equality of Slopes: tau in {  0.5 0.75  }

  Df Resid Df F value    Pr(>F)    
1  1      469  12.093 0.0005532 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
`   
画图比较分析
plot(engel$foodexp , engel$income,pch=20, col = "#2E8B57",
     main = "家庭收入与食品支出的分位数回归",xlab="食品支出",ylab="家庭收入")
lines(fitted(fit1), engel$income,lwd=2, col = "#EEEE00")
lines(fitted(fit2), engel$income,lwd=2, col = "#EE6363")
legend("topright", c("tau=.5","tau=.75"), lty=c(1,1),
       col=c("#EEEE00","#EE6363"))

不同分位点的回归比较
fit = rq(foodexp ~ income,  tau = c(0.05,0.25,0.5,0.75,0.95), data = engel)
plot( summary(fit))

多元分位数回归

data(barro)

fit1 <- rq(y.net ~ lgdp2 + fse2 + gedy2 + Iy2 + gcony2, data = barro,tau=.25)
fit2 <- rq(y.net ~ lgdp2 + fse2 + gedy2 + Iy2 + gcony2, data = barro,tau=.50)
fit3 <- rq(y.net ~ lgdp2 + fse2 + gedy2 + Iy2 + gcony2, data = barro,tau=.75)
# 替代方式 fit <- rq(y.net ~ lgdp2 + fse2 + gedy2 + Iy2 + gcony2, method = "fn", tau = 1:4/5, data = barro)

anova(fit1,fit2,fit3)             # 不同分位点模型比较-方差分析
anova(fit1,fit2,fit3,joint=FALSE)
`
Quantile Regression Analysis of Deviance Table

Model: y.net ~ lgdp2 + fse2 + gedy2 + Iy2 + gcony2
Tests of Equality of Distinct Slopes: tau in {  0.25 0.5 0.75  }

       Df Resid Df F value  Pr(>F)  
lgdp2   2      481  1.0656 0.34535  
fse2    2      481  2.6398 0.07241 .
gedy2   2      481  0.7862 0.45614  
Iy2     2      481  0.0447 0.95632  
gcony2  2      481  0.0653 0.93675  
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Warning message:
In summary.rq(x, se = se, covariance = TRUE) : 1 non-positive fis
`
不同分位点拟合曲线的比较
plot(barro$y.net,pch=20, col = "#2E8B57",
     main = "不同分位点拟合曲线的比较")
lines(fitted(fit1),lwd=2, col = "#FF00FF")
lines(fitted(