1.一个人上台阶可以一次上1个，2个，或者3个，问这个人上32层的台阶，总共有几种走法？
思路:先建立数学模型,设3步的走 i 次,2步的走 j 次, 1步的走 k 次,上了3*i + 2*j + 1*k = n个台阶.总共走 i + j + k 次, 等于把n个台阶的长度先划分成 i + j + k 个段落, 然后分别填下i个3, j 个2, k个1.这样,当划分成 i + j + k 个段落时, 根据排列组合知识,所有填充方法有 (i + j + k )!/ ( i!*j!*k!) 种,程序中使用GetComb(i,j,k)函数计算此值.
对于i, j, k的确定,我们可以用从大到小划分法, 先划分3的次数,再划分2的次数,剩下的都算做1的次数,具体程序中就是里面的i,j,两重循环.
1 #include <iostream>
2 #include <cstdio>
3 int Factorial(int n)
4 {
5 int ret = n;
6 if (n<=1)
7 {
8 return 1;
9 }
10 while (n-->1)
11 {
12 ret*=n;
13 }
14 return ret;
15 }
16
17 //求(i+j+k)!/(i!*j!*k!)
18
19 int GetComb(int i,int j,int k)
20 {
21 int m = Factorial(i+j+k);
22 int l = Factorial(i)*Factorial(j)*Factorial(k);
23 return m/l;
24 }
25
26
27 int NStepFor123(int n)
28 {
29 int i=0;
30 int j=0;
31 int p;
32 int k;
33 int result=0;
34 for ( i=0; i<=n/3; i++ )
35 {
36 p = n-i*3;
37 for ( j=0; j<=p/2; j++ )
38 {
39 k = p -j*2;
40 //求(i+j+k)!/(i!*j!*k!)
41 result += GetComb(i,j,k);
42 }
43 }
44 return result;
45 }
46 int main(int argc, const char * argv[]) {
47 // insert code here...
48 printf("%d",NStepFor123(32));
49 return 0;
50 }
此题还可以有另一种方法
f(n) = f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)，特别地f(0)=1;f(1)=1;f(2)=2;
式子的证明为：增加一步共为f(n+1)的时候，把这新的一步算进去后有三种情况，1是这一步仅当一步走为f(n)次，2是这一步配合原来的最后一步作为两步走为f(n-1)次，3是这一步配合前面的两步作三步走为f(n-2)；所以式子f(n+1) =f(n)+ f(n-1)+f(n-2)，归纳得证。
int f (int k)
{
int v[3]={1,1,2};
long index = -1;
if (k<0)
{
return 0;
}
if (k<3)
{
return v[k];
}
while(k-->2)
{
index++;
index %= 3;
v[index] = v[0]+v[1]+v[2];
}
return v[index];
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
printf("%d",f(32));
return 0;
}
奇怪的是两个程序运行结果不一致
调试发现前1～13结果一致。由于第二种O（n）所以应是第一种出现问题。
int Factorial(int n) int 不能装下ret所以出错，把它改成 long型就ok了
代码如下
long Factorial(int n)
{
long ret = n;
if (n<=1)
{
return 1;
}
while (n-->1)
{
ret*=n;
}
return ret;
}
//求(i+j+k)!/(i!*j!*k!)
double GetComb(int i,int j,int k)
{
double m = Factorial(i+j+k);
double l = Factorial(i)*Factorial(j)*Factorial(k);
return m/l;
}
long NStepFor123(int n)
{
int i=0;
int j=0;
int p;
int k;
long result=0;
for ( i=0; i<=n/3; i++ )
{
p = n-i*3;
for ( j=0; j<=p/2; j++ )
{
k = p -j*2;
//求(i+j+k)!/(i!*j!*k!)
result += GetComb(i,j,k);
}
}
return result;
}
int main()
{
printf("%ld",NStepFor123(32));
return 0;
}
但我们发现在32时仍然不相等，说明阶乘运算得出的ret又大于long的取值了,int64_t仍然不够用，所以要用字符串模拟大数（会很麻烦）
所以建议使用第二种也就是递归的方法解决问题。