迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x)，然后按以下步骤执行：
（1）选一个方程的近似根，赋给变量x0。
（2）将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0。
（3）当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（2）的计算。
若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。上述算法用C++程序的形式表示为：
x0=初始近似根；
do {
x1=x0；
x0=g(x1)； // 按特定的方程计算新的近似根
} while ( fabs(x0-x1)>Epsilon)；
cout<<“方程的近似根是”<<x0；
例如，采用迭代法求方程x=cos(x)一个根的源程序为：
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main() {
float x0,x1=0.0;
while(1)
{
x0=x1;
x1=cos(x0);
if (fabs(x0-x1)<1e-6)
break;
}
cout<<"The real root is "<<x1<<endl;
return 0;
}
【例3】编写一个程序，用迭代法求方程x3－x－1＝0在区间[0，2]中的根。
（1）编程思路1。
用二分迭代法求解。
二分迭代法的原理：先取方程f(x)=0的两个粗略解 x1和x2，若f(x1)与f(x2)的正负符号相反，则表明区间（x1，x2）中至少有方程的一个解。如果f(x)在区间（x1，x2）内单调递增或单调递减，则（x1，x2）内只有方程的一个解。具体做法：取x1，x2的中点x3，计算f(x3）的值。在x1，x2中去掉函数值与f(x3）同号者（假设f(x2）和f(x3）同号），得到一个由x1和x3构成的区间，这个区间是原来的一半，并且包含精确解。不断重复（不是无穷多次）上述步骤，可以得到一个序列：x1，x2，x3，…，xn+1，xn，…这个序列的极限便是方程的精确值。
（2）源程序1。
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{
double x1,x2,x3 ;
x1 = 0; x2 = 2 ; // 初始区间
do
{
x3 = (x1 + x2) / 2;
if ((x1 * x1 * x1 - x1 - 1) * (x3 * x3*x3 - x3 - 1) > 0 )
x1 = x3 ; // 改变区间
else
x2 = x3 ; // 改变区间
} while (fabs(x2-x1)>0.000001); // 判断是否满足精度要求
cout<<x1<<endl; // 输出结果
return 0 ;
}
（3）编程思路2。
用牛顿迭代法求解。
牛顿迭代法的基本原理是：设已知方程的近似根x0，则在x0附近f(x)可用一阶泰勒多项式
近似代替。因此，方程f(x)=0可近似地表示为p(x)=0，用x1表示p(x)=0的根，它与f(x)=0的根差异不大。
设f'(x0)!=0，由于x1满足
，解得
重复这一过程，得到迭代公式：
牛顿迭代法的几何解析是：在x0处作曲线的切线，切线方程为
。
令y=0，可得切线与x轴的交点坐标
这就是牛顿法的迭代公式。因此，牛顿法又称“切线法”。
（4）源程序2。
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{
double x1,x2 ;