13.4.4 将表达式变形避免极值

13.4.4  将表达式变形避免极值

将表达式变形一下，得到：

theta = arcos( 1.0/sqrt( 1.0 + (y/x)2 ) 

当x→±∞时，y/x→0，theta=arcos(1.0)，得到theta=0.0，结果正确。因此，这种处理可以避免由于x→±∞时造成的错误。不过这种处理带来另外一个问题，那就是当x→±∞时,(y/x)2→0是个非常小的量，此时由于有效数字有限以及1.0的存在，导致1.0+(y/x)2的精度很低。这将带来计算误差。因此，还可以变形为：

theta = arctan( y/x ) 

这个表达式既避免了x→±∞时的溢出问题，又避免了有效数字不够的问题。不过，这个变形导致值域发生了变化，需要修正：

if( theta < 0.0 )  
    theta += MATH_PI; 

算例：x=1.0E+300、y=1.0，theta=1.0E-300（真值是1.0E-300）。

从这个算例上看，变形为theta=arctan(y/x)既避免了极值问题，又提高了精度。