称球问题是最经典的一道趣味数学题目，经常出现于各种智力游戏及智力测试中，最常见的题目如下所示：

12个球中，有一个重量与其他的11个不同，但不知道是重还是轻。给你一个天平，只许称3次把这个不标准的球找出来，应该怎么称呢？

分析与解答

首先强调说明两点：

（1）不规则的球不知是轻还是重，一共12个球，因此最后必定是24种可能。

（2）任何时候如果天平相等，那么天平上的球都是标准球，可以作为后续参考球。如果天平不相等，下次称的时候将其中的一部分球交换位置天平保持不变，那么交换的球都是标准球，反之如果天平发生变化则不标准球就在交换的球之中。

为了使读者查看方便，12个球用1~12（数字）进行标识，其中已确定是标准球的号码加括号注明：

第一次{1+2+3+4}比较{5+6+7+8}

如果相等，第二次{9+10}比较{（1）+11}

如果相等，证明是12球不规则，第三次和任意球比较，12或者重或者轻两种可能

如果{9+10}>{（1）+11}

第三次9比较10，如果9>10并且{9+10}>{（1）+11}证明是9重

同理如果9<10，证明是10重

同理如果9=10，证明是11轻

如果{9+10}<{（1）+11}

第三次9比较10，如果9>10并且{9+10}<{（1）+11}，证明是10轻

如果9<10，证明是9轻

如果9=10，证明是11重

至此刚好8种可能；

如果{1+2+3+4}>{5+6+7+8}

第二次{1+2+5}比较{3+6+（9）}（关键把其中3，5球的位置交换）

如果相等，证明1，2，3，5，6为规则球，不规则球在4，7，8中（见说明2）

第三次7比较8，如果7=8并且{1+2+3+4}>{5+6+7+8}证明是4重

如果7<8，证明是7轻

如果7>8，证明是8轻

如果{1+2+5}>{3+6+（9）}

证明3，5，4，7，8为规则球，不规则球在1，2，6中

第三次1比较2，如果1=2并且{1+2+5}>{3+6+（9）}证明是6轻

如果1>2，证明是1重

如果1<2，证明是2重

如果{1+2+5}<{3+6+（9）}

证明不规则球在3，5中（因为位置变化天平变化）

第三次随便比较1与3，如果1=3，证明是5轻

如果1<3，证明是3重

1>3不可能，因为已经有第一次{1+2+3+4}>{5+6+7+8}

这样刚好也是8种可能。

同样道理，{1+2+3+4}<{5+6+7+8}时处理方法同上，也会有8种不重复的可能性，最终刚好是24种可能。

同样还是称球的问题，如果12个球你解决了，接着再考虑一下如何解决13个球吧，条件完全相同，13个球中有一个非标准球，仍然是称3次找出来，13个球是称3次的极限了。

分析与解答

有了称12个球的经验，下面就解释得稍微简单一些了，分组方式为4，4，5。

第一次仍然为{1+2+3+4}比较{5+6+7+8}

如果相等，第二次{9+10+11}比较{（1）+（2）+（3）}

如果相等证明不标准球是12或者13

第三次比较1和12，如果1>12，证明是12轻

如果1<12，证明是12重

如果1=12，证明不标准球是13

如果{9+10+11}>{（1）+（2）+（3）}，则说明不标准球在9，10，11中且为重

第三次9比较10，如果9=10，证明是11重

如果9<10，证明是10重

如果9>10，证明是9重

如果{9+10+11}<{（1）+（2）+（3）}，则说明不标准球在9，10，11中且为轻

第三次9比较10，如果9=10，证明是11轻

如果9<10，证明是9轻

如果9>10，证明是10轻

如果{1+2+3+4}>{5+6+7+8}

第二次{1+2+3+5}比较{4+（9）+（10）+（11）}

如果相等，证明不规则球在6，7，8中且为轻

第三次6比较7 如果6=7证明是8轻

如果6<7，证明是6轻

如果6>7，证明是7轻

如果{1+2+3+5}>{4+（9）+（10）+（11）}

证明不规则球在1，2，3中且为重

第三次1比较2，如果1=2证明是3重

如果1>2，证明是1重

如果1<2，证明是2重

如果{1+2+3+5}<{4+（9）+（10）+（11）}

证明不规则球在4，5中（因为位置变化天平变化）

第三次1比较4即可，如果1=4证明是5轻

如果1<4证明是4重

1>4的情况不成立

同样{1+2+3+4}<{5+6+7+8}可以分析得出，合计8+8+9=25种可能。