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图解数据结构树之AVL树(一)
2019-08-14 00:07:59 】 浏览:29
Tags:图解 数据结构 AVL

AVL树(平衡二叉树):

AVL树本质上是一颗二叉查找树,但是它又具有以下特点:它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1,并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为一,所以它也被称为平衡二叉树。下面是平衡二叉树和非平衡二叉树对比的例图:

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平衡因子(bf):结点的左子树的深度减去右子树的深度,那么显然-1<=bf<=1;

AVL树的作用:

我们知道,对于一般的二叉搜索树(Binary Search Tree),其期望高度(即为一棵平衡树时)为log2n,其各操作的时间复杂度(O(log2n))同时也由此而决定。但是,在某些极端的情况下(如在插入的序列是有序的时),二叉搜索树将退化成近似链或链,此时,其操作的时间复杂度将退化成线性的,即O(n)。我们可以通过随机化建立二叉搜索树来尽量的避免这种情况,但是在进行了多次的操作之后,由于在删除时,我们总是选择将待删除节点的后继代替它本身,这样就会造成总是右边的节点数目减少,以至于树向左偏沉。这同时也会造成树的平衡性受到破坏,提高它的操作的时间复杂度。

例如:我们按顺序将一组数据1,2,3,4,5,6分别插入到一颗空二叉查找树和AVL树中,插入的结果如下图:

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由上图可知,同样的结点,由于插入方式不同导致树的高度也有所不同。特别是在带插入结点个数很多且正序的情况下,会导致二叉树的高度是O(N),而AVL树就不会出现这种情况,树的高度始终是O(lgN).高度越小,对树的一些基本操作的时间复杂度就会越小。这也就是我们引入AVL树的原因

AVL树的基本操作:

AVL树的操作基本和二叉查找树一样,这里我们关注的是两个变化很大的操作:插入和删除!

我们知道,AVL树不仅是一颗二叉查找树,它还有其他的性质。如果我们按照一般的二叉查找树的插入方式可能会破坏AVL树的平衡性。同理,在删除的时候也有可能会破坏树的平衡性,所以我们要做一些特殊的处理,包括:单旋转和双旋转!

AVL树的插入,单旋转的第一种情况---右旋:

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由上图可知:在插入之前树是一颗AVL树,而插入之后结点T的左右子树高度差的绝对值不再 < 1,此时AVL树的平衡性被破坏,我们要对其进行旋转。由上图可知我们是在结点T的左结点的左子树上做了插入元素的操作,我们称这种情况为左左情况,我们应该进行右旋转(只需旋转一次,故是单旋转)。具体旋转步骤是:

T向右旋转成为L的右结点,同时,Y放到T的左孩子上。这样即可得到一颗新的AVL树,旋转过程图如下:

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左左情况的右旋举例:

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AVL树的插入,单旋转的第一种情况---左旋:

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由上图可知:在插入之前树是一颗AVL树,而插入之后结点T的左右子树高度差的绝对值不再 < 1,此时AVL树的平衡性被破坏,我们要对其进行旋转。由上图可知我们是在结点T的右结点的右子树上做了插入元素的操作,我们称这种情况为右右情况,我们应该进行左旋转(只需旋转一次,故事单旋转)。具体旋转步骤是:

T向右旋转成为R的左结点,同时,Y放到T的左孩子上。这样即可得到一颗新的AVL树,旋转过程图如下:

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右右情况的左旋举例:
image

以上就是插入操作时的单旋转情况!我们要注意的是:谁是T谁是L,谁是R还有谁是X,Y,Z!T始终是开始不平衡的左右子树的根节点。显然L是T的左结点,R是T的右节点。X、Y、Y是子树当然也可以为NULL.NULL归NULL,但不能破坏插入时我上面所说的左左情况或者右右情况。

AVL树的插入,双旋转的第一种情况---左右(先左后右)旋:

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由  上图可知,我们在T结点的左结点的右子树上插入一个元素时,会使得根为T的树的左右子树高度差的绝对值不再 < 1,如果只是进行简单的右旋,得到的树仍然是不平衡的。我们应该按照如下图所示进行二次旋转:

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左右情况的左右旋转实例:

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AVL树的插入,双旋转的第二种情况---右左(先右后左)旋:

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由上图可知,我们在T结点的右结点的左子树上插入一个元素时,会使得根为T的树的左右子树高度差的绝对值不再 < 1,如果只是进行简单的左旋,得到的树仍然是不平衡的。我们应该按照如下图所示进行二次旋转:

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右左情况的右左旋转实例:

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AVL树的插入代码实现:(仅供参考)

懂了以上单旋转和双旋转的原理之后,那么代码写起来也就比较简单了,以下是我写的代码,如果有错还望大家不吝指正。(参考数据结构与算法分析-Weiss著)

#include <iostream>
#include <stdlib.h>

using namespace std;

#define DataType int

/*
    定义AVL树的结构体,链式
*/
typedef struct AvlNode{
    DataType    data;
    AvlNode    * m_pLeft;
    AvlNode    * m_pRight;
    int height;
}*AvlTree,*Position,AvlNode;

//求两个数的最大值
int Max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;
}
//求树的高度
int Height( AvlTree T)
{
    if(NULL == T)
        return -1;
    else
        return T->height;
}

//单旋转右旋
AvlTree singleRotateWithRight(AvlTree T)
{
    AvlTree L = T->m_pLeft;
    T->m_pLeft = L->m_pRight;
    L->m_pRight = T;
    T->height = Max( Height(T->m_pLeft),Height(T->m_pRight) ) + 1;
    L->height = Max( Height(L->m_pLeft),Height(L->m_pRight) ) + 1;
    return L;    //此时L成为根节点了(可参考AVL的插入的左左情况的右旋图)
}
//单旋转左旋
AvlTree singleRotateWithLeft(AvlTree T)
{
    AvlTree R = T->m_pRight;
    T->m_pRight = R->m_pLeft;
    R->m_pLeft = T;
    T->height = Max( Height(T->m_pLeft),Height(T->m_pRight) ) + 1;
    R->height = Max( Height(R->m_pLeft),Height(R->m_pRight) ) + 1;
    return R;    //此时R成为根节点了(可参考AVL的插入的左左情况的左旋图)
}
//双旋转,先左后右
AvlTree doubleRotateWithLeft(AvlTree T)        //先左后右
{
    T->m_pLeft = singleRotateWithLeft(T->m_pLeft);
    return singleRotateWithRight(T);
}
//双旋转,先右后左
AvlTree doubleRotateWithRight(AvlTree T)    //先右后左
{
    T->m_pRight = si  
		
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