计算组合数最大的困难在于数据的溢出,对于大于150的整数n求阶乘很容易超出double类型的范围,那么当C(n,m)中的n=200时,直接用组合公式计算基本就无望了。另外一个难点就是效率。
对于第一个数据溢出的问题,可以这样解决。因为组合数公式为:
C(n,m) = n!/(m!(n-m)!)
为了避免直接计算n的阶乘,对公式两边取对数,于是得到:
ln(C(n,m)) = ln(n!)-ln(m!)-ln((n-m)!)
进一步化简得到:
这样我们就把连乘转换为了连加,因为ln(n)总是很小的,所以上式很难出现数据溢出。
为了解决第二个效率的问题,我们对上式再做一步化简。上式已经把连乘法变成了求和的线性运算,也就是说,上式已经极大地简化了计算的复杂度,但是还可以进一步优化。从上式中,我们很容易看出右边的3项必然存在重复的部分。现在我们把右边第一项拆成两部分:
这样,上式右边第一项就可以被抵消掉,于是得到:
上式直接减少了2m次对数计算及求和运算。但是这个公式还可以优化。对于上面公式里的求和,当m
n/2时,n-m就会小很多。我们知道:
C(n,m) = C(n,n-m)
那么通过这个公式,我们可以把小于n/2的m变为大于n/2的n-m再进行计算,结果是一样的,但是却能减少计算量。
当计算出ln(C(n,m))后,只需要取自然对数,就可以得到组合数:
C(n,m) = exp(ln(C(n,m)))